Zadanie 28 – matura z matematyki sierpień 2011, poziom podstawowy

Trójkąt KGE jest równoboczny

**Krok \(1\).** Mamy wykazać, że trzy odcinki \(KG\), \(GE\) i \(EK\) mają równe długości. Nie musimy liczyć tych długości: wystarczy pokazać, że każdy z nich jest bokiem jednego z trzech trójkątów przystających. Szukamy więc trójkątów, w których zgadzają się dwa boki i kąt między nimi. Oznaczmy bok trójkąta równobocznego przez \(a\). **Krok \(2\).** Rysujemy odcinki \(CK\), \(CG\), \(BG\), \(BE\), \(AE\), \(AK\). Odcinki \(CK\), \(BG\), \(AE\) są bokami kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta, a każdy z tych kwadratów ma bok długości \(a\), więc \[|CK|=|BG|=|AE|=a.\] **Krok \(3\).** Odcinki \(CG\), \(BE\), \(AK\) łączą przeciwległe wierzchołki kwadratów, są więc ich przekątnymi. Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt2\), zatem \[|CG|=|BE|=|AK|=a\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Liczymy kąt między odcinkami \(CK\) i \(CG\). Wokół punktu \(C\) cztery kąty składają się na pełne \(360^{\circ}\): kąt kwadratu \(ACKL\), czyli \(|\angle KCA|=90^{\circ}\), kąt trójkąta równobocznego \(|\angle ACB|=60^{\circ}\), kąt \(|\angle BCG|=45^{\circ}\) (bo przekątna \(CG\) dzieli kąt prosty kwadratu \(CBGH\) na połowy) oraz szukany kąt \(\angle GCK\). Stąd \[|\angle GCK|=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=165^{\circ}.\] **Krok \(5\).** Tak samo liczymy kąty przy pozostałych wierzchołkach. Przy \(B\): \(|\angle CBG|=90^{\circ}\), \(|\angle ABC|=60^{\circ}\), \(|\angle ABE|=45^{\circ}\), więc \[|\angle GBE|=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=165^{\circ}.\] Przy \(A\): \(|\angle BAE|=90^{\circ}\), \(|\angle BAC|=60^{\circ}\), \(|\angle CAK|=45^{\circ}\), więc \[|\angle EAK|=360^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=165^{\circ}.\] **Krok \(6\).** Porównujemy trójkąty \(KCG\), \(GBE\) oraz \(EAK\). W każdym z nich jeden bok ma długość \(a\), drugi \(a\sqrt2\), a kąt zawarty między nimi ma miarę \(165^{\circ}\). Na mocy cechy przystawania bok-kąt-bok trójkąty te są przystające. **Krok \(7\).** W trójkątach przystających odpowiadające sobie boki są równe. Trzecimi bokami tych trójkątów są kolejno \(KG\), \(GE\) i \(EK\), zatem \[|KG|=|GE|=|EK|,\] czyli trójkąt \(KGE\) ma wszystkie boki równej długości i jest równoboczny, co należało wykazać. **Uwaga.** Istotne jest to, że w każdym z trzech trójkątów bok długości \(a\) i bok długości \(a\sqrt2\) leżą przy tym samym kącie \(165^{\circ}\) i że kąt ten jest zawarty między nimi. Gdyby kąt leżał naprzeciw jednego z boków, cecha bok-kąt-bok nie miałaby zastosowania. **Odpowiedź.** Trójkąt \(KGE\) jest równoboczny, bo \(|KG|=|GE|=|EK|\).

**1 pkt** – gdy zapisze, że trójkąty \(KCG\), \(GBE\) i \(AEK\) są przystające, i wyciągnie wniosek, że \(KG=GE=EK\), lecz nie poda pełnego uzasadnienia równości odpowiednich kątów lub boków. **2 pkt** – gdy przeprowadzi pełny dowód.

Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria płaska – przeprowadza dowód geometryczny z użyciem przystawania trójkątów.