Okręgi i koła
Zadanie 29, sierpień 2011, poziom podstawowy
Punkty \(A\) i \(B\) leżą na okręgu o środku \(O\) i dzielą ten okrąg na dwa łuki, których stosunek długości jest równy \(7:5\). Oblicz miarę kąta środkowego opartego na krótszym łuku.
Odpowiedź
\(150^{\circ}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Kluczowa obserwacja: długość łuku jest wprost proporcjonalna do miary kąta środkowego, na którym ten łuk jest oparty. Skoro łuki mają się do siebie jak \(7:5\), to w tym samym stosunku pozostają odpowiadające im kąty środkowe.
**Krok \(2\).** Oznaczmy przez \(\alpha\) kąt oparty na krótszym łuku, a przez \(\beta\) kąt oparty na dłuższym. Oba kąty razem obiegają cały okrąg:
\[\alpha+\beta=360^{\circ},\qquad \frac{\alpha}{\beta}=\frac{5}{7}.\]
**Krok \(3\).** Zamiast rozwiązywać układ, myślimy o podziale na części: skoro proporcja to \(7:5\), dzielimy okrąg na \(7+5=12\) równych części. Krótszy łuk to \(5\) takich części, czyli \(\frac{5}{12}\) całego okręgu.
**Krok \(4\).** Kąt pełny ma \(360^{\circ}\), więc kąt oparty na krótszym łuku stanowi ten sam ułamek kąta pełnego:
\[\alpha=\frac{5}{12}\cdot 360^{\circ}=5\cdot 30^{\circ}=150^{\circ}.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzamy: \(\beta=\frac{7}{12}\cdot 360^{\circ}=210^{\circ}\), a \(150^{\circ}+210^{\circ}=360^{\circ}\) — zgadza się, przy czym \(150^{\circ}\lt 210^{\circ}\), więc rzeczywiście \(\alpha\) odpowiada krótszemu łukowi.
**Uwaga.** Łatwo pomylić części proporcji i wziąć \(\frac{7}{12}\). Krótszemu łukowi odpowiada mniejsza liczba w proporcji, czyli \(5\) — pytanie dotyczy kąta opartego na krótszym łuku.
**Odpowiedź.** \(150^{\circ}\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – gdy zapisze, że krótszy łuk \(AB\) to \(\frac{5}{12}\) okręgu, lub zapisze układ równań, np.: \(\frac{\alpha}{\beta}=\frac{7}{5}\) i \(\alpha+\beta=360^{\circ}\), lub zapisze, że dwa kolejne punkty zaznaczone na tym okręgu wraz z punktem \(O\) wyznaczają kąt środkowy o mierze \(30^{\circ}\), lub zapisze, że kąt środkowy oparty na dłuższym z łuków \(AB\) ma miarę \(210^{\circ}\), i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
**2 pkt** – gdy obliczy miarę kąta środkowego opartego na krótszym z łuków \(AB\): \(\angle AOB=150^{\circ}\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (klucz CKE z 2011 r. nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria płaska – wiąże długość łuku z miarą kąta środkowego.
