Funkcje
Zadanie 32, próbna marzec 2021, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz
\[\sin\alpha+\cos\alpha=\frac75.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[2\sin\alpha\cos\alpha.\]
Odpowiedź
\[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podnosimy obie strony danej równości do kwadratu:
\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac75\right)^2.\]
Korzystając z tożsamości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy
\[1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}.\]
Zatem
\[2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}-1=\frac{24}{25}.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie \(2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25}\)
**1 pkt** – podniesienie warunku do kwadratu i zapisanie \(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{49}{25}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
6.3 stosowanie prostych tożsamości trygonometrycznych.
