Zadanie 11 – matura z matematyki maj 2026, poziom rozszerzony

\[\lvert BC\rvert=5,\qquad \lvert CD\rvert=6,\qquad P_{ABCD}=30\sqrt{3}.\]

Oznaczmy \(x=\lvert BC\rvert\), \(y=\lvert CD\rvert\). W czworokąt wpisano okrąg, więc sumy długości przeciwległych boków są równe: \[\lvert AB\rvert+\lvert CD\rvert=\lvert BC\rvert+\lvert AD\rvert,\qquad 9+y=x+10,\qquad y=x+1.\] Na czworokącie opisano okrąg, więc przeciwległe kąty dopełniają się do \(180^{\circ}\): \[\lvert\angle BCD\rvert=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.\] Przekątną \(BD\) wyznaczamy z twierdzenia cosinusów w obu trójkątach: \[\lvert BD\rvert^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cos60^{\circ}=181-90=91,\] \[\lvert BD\rvert^2=x^2+y^2-2xy\cos120^{\circ}=x^2+y^2+xy.\] Podstawiamy \(y=x+1\): \[x^2+(x+1)^2+x(x+1)=91,\qquad 3x^2+3x-90=0,\qquad x^2+x-30=0,\] \[(x-5)(x+6)=0.\] Długość boku jest dodatnia, więc \(x=5\), a stąd \(y=6\). Pole czworokąta jest sumą pól trójkątów \(ABD\) i \(BCD\): \[P=\tfrac12\cdot9\cdot10\sin60^{\circ}+\tfrac12\cdot5\cdot6\sin120^{\circ}=45\cdot\frac{\sqrt3}{2}+15\cdot\frac{\sqrt3}{2}=30\sqrt3.\] **Odpowiedź.** \(\lvert BC\rvert=5\), \(\lvert CD\rvert=6\), \(P_{ABCD}=30\sqrt3\)

**1–2 pkt** – zapisanie warunku wpisania okręgu (\(9+y=x+10\)) i warunku opisania okręgu (\(\lvert\angle BCD\rvert=120^{\circ}\)). **3–4 pkt** – zapisanie dwóch wyrażeń na \(\lvert BD\rvert^2\) i ułożenie równania \(x^2+x-30=0\). **5 pkt** – obliczenie \(\lvert BC\rvert=5\) i \(\lvert CD\rvert=6\). **6 pkt** – obliczenie pola \(P=30\sqrt3\).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** VIII.R1) Zdający stosuje własności czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.