Trygonometria
Zadanie 7, maj 2025, poziom rozszerzony
W trójkącie równobocznym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Stosunek pola trójkąta \(ABD\) do pola trójkąta \(ADC\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\).
Wykaż, że miara kąta \(DAC\) jest równa \(45^{\circ}\).
Odpowiedź
Teza została wykazana: \(\lvert\angle DAC\rvert=45^\circ\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle DAC\rvert\). Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\) oraz \(\lvert\angle BAC\rvert=60^\circ\), a zatem \(\lvert\angle BAD\rvert=60^\circ-\alpha\).
Pola obu trójkątów zapisujemy wzorem z sinusem kąta przy wierzchołku \(A\):
\[P_{ABD}=\tfrac12\lvert AB\rvert\cdot\lvert AD\rvert\sin(60^\circ-\alpha),\qquad P_{ADC}=\tfrac12\lvert AC\rvert\cdot\lvert AD\rvert\sin\alpha.\]
Ponieważ \(\lvert AB\rvert=\lvert AC\rvert\), z warunku zadania otrzymujemy
\[\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3-1}{2}.\]
Punkt \(D\) leży wewnątrz boku \(BC\), więc \(0^\circ<\alpha<60^\circ\) i \(\sin\alpha>0\) — dzielenie jest wykonalne.
Rozwijamy sinus różnicy:
\[\frac{\sin 60^\circ\cos\alpha-\cos 60^\circ\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\operatorname{ctg}\alpha-\frac12=\frac{\sqrt3-1}{2}.\]
Stąd \(\tfrac{\sqrt3}{2}\operatorname{ctg}\alpha=\tfrac{\sqrt3}{2}\), czyli \(\operatorname{ctg}\alpha=1\), a więc \(\operatorname{tg}\alpha=1\).
W przedziale \((0^\circ,60^\circ)\) jedynym kątem o tangensie równym \(1\) jest \(45^\circ\).
**Odpowiedź.** \(\lvert\angle DAC\rvert=45^\circ\), co należało wykazać.
Klucz i zasady oceniania
**(dla sposobów I oraz VI)**
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**2 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą – jednym z kątów: \(CAD\), \(BAD\), \(CDA\), \(ADB\), w którym wszystkie funkcje trygonometryczne są tego samego argumentu, np. \(\frac{\sin60^\circ\cdot\cos\alpha-\cos60^\circ\cdot\sin\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\), gdzie \(\alpha=\lvert\angle CAD\rvert\),
ALBO
– obliczenie współczynnika kierunkowego prostej \(AD\): \(2-\sqrt{3}\).
**1 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą – jednym z kątów: \(CAD\), \(BAD\), \(CDA\), \(ADB\), np. \(\frac{\sin(60^\circ-\alpha)}{\sin\alpha}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\), gdzie \(\alpha=\lvert\angle CAD\rvert\),
ALBO
– zapisanie związku \(\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert CD\rvert}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobu II)**
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**2 pkt** – wyznaczenie długości czterech spośród pięciu odcinków: \(BD\), \(CD\), \(CE\), \(DE\), \(AE\), w zależności od jednej zmiennej, np. \(\lvert CD\rvert=x\) i \(\lvert BD\rvert=\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}x\) i \(\lvert CE\rvert=\tfrac{1}{2}x\) i \(\lvert AE\rvert=\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\)
ALBO
– wyznaczenie długości odcinków: \(BD\), \(CD\), \(CE\), w zależności od długości odcinka \(AE\) i tangensa kąta \(DAC\), np. \(\lvert CE\rvert=\tfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\lvert AE\rvert\cdot\operatorname{tg}\alpha\) i \(\lvert CD\rvert=\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\lvert AE\rvert\cdot\operatorname{tg}\alpha\) i \(\lvert BD\rvert=\lvert AE\rvert-\tfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\lvert AE\rvert\cdot\operatorname{tg}\alpha\), gdzie \(\alpha\) jest kątem \(DAC\).
**1 pkt** – zapisanie związku \(\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert CD\rvert}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\),
ALBO
– wyznaczenie długości dwóch odcinków spośród \(BD\), \(BC\) i \(CD\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(\lvert CD\rvert=x\) i \(\lvert BD\rvert=\tfrac{\sqrt{3}-1}{2}x\),
ALBO
– wyznaczenie długości boków trójkąta \(CED\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(\lvert CD\rvert=x\), \(\lvert CE\rvert=\tfrac{1}{2}x\), \(\lvert DE\rvert=\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\),
ALBO
– wyznaczenie długości odcinka \(CE\) (albo \(CD\)) w zależności od długości odcinka \(AE\) i tangensa kąta \(DAC\): \(\lvert CE\rvert=\tfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\lvert AE\rvert\cdot\operatorname{tg}\alpha\) (albo \(\lvert CD\rvert=\tfrac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\lvert AE\rvert\cdot\operatorname{tg}\alpha\)), gdzie \(\alpha\) jest kątem \(DAC\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
**Zasady oceniania (dla sposobów III – V)**
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**2 pkt** – obliczenie \(\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert DF\rvert}\) oraz \(\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AF\rvert}\): \(\frac{\lvert BD\rvert}{\lvert DF\rvert}=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(\frac{\lvert AB\rvert}{\lvert AF\rvert}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ALBO
– wyznaczenie długości odcinków \(AD\) oraz \(CD\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(\lvert AD\rvert=\sqrt{6}m\) oraz \(\lvert CD\rvert=2m\).
**1 pkt** – wyznaczenie długości odcinków \(BD\) i \(CD\) w zależności od jednej zmiennej, np. \(\lvert CD\rvert=2m\) i \(\lvert BD\rvert=(\sqrt{3}-1)m\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.4) Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych, w tym ze wzoru na pole trójkąta ostrokątnego o danych dwóch bokach i kącie między nimi.
