Zadanie 14 – matura z matematyki maj 2021, poziom rozszerzony

**a)** \(P(m)=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert\) dla \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\). **b)** Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny dla \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup\left(1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\). Pole wynika z odległości punktu \(C=\left(m,m^{2}\right)\) od prostej \(AB\colon y=x+2\), a ostrokątność — z warunku, że iloczyn skalarny wektorów wychodzących z każdego wierzchołka jest dodatni.

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: pole liczymy ze wzoru \(P=\frac{1}{2}\lvert AB\rvert\cdot h\), gdzie \(h\) jest odległością wierzchołka \(C\) od prostej \(AB\). Współrzędne \(C\) zapisujemy w zależności od \(m\). **Krok \(2\).** Punkt \(C\) leży na paraboli \(y=x^{2}\), a jego pierwszą współrzędną jest \(m\), więc \(C=\left(m,\ m^{2}\right)\). **Krok \(3\).** Wyznaczamy prostą \(AB\) i długość odcinka \(AB\). Dla \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) współczynnik kierunkowy wynosi \(\frac{3-2}{1-0}=1\), więc \[AB\colon y=x+2,\qquad\text{czyli}\qquad x-y+2=0,\] \[\lvert AB\rvert=\sqrt{(1-0)^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt2.\] **Krok \(4\).** Obliczamy wysokość opuszczoną z \(C\): \[h=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt2}.\] **Krok \(5\).** Zapisujemy pole: \[P(m)=\frac{1}{2}\cdot\sqrt2\cdot\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt2}=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert=\frac{1}{2}\left\lvert (m+1)(m-2)\right\rvert.\] Dziedziną jest zbiór \(\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\): dla \(m=-1\) i \(m=2\) punkt \(C\) leży na prostej \(AB\) i trójkąt nie istnieje. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: trójkąt jest ostrokątny dokładnie wtedy, gdy wszystkie trzy kąty wewnętrzne są ostre, a kąt między wektorami jest ostry dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest dodatni. Sprawdzamy więc trzy warunki. **Krok \(7\).** Kąt przy wierzchołku \(A\). Mamy \(\overrightarrow{AB}=[1,1]\) oraz \(\overrightarrow{AC}=\left[m,\ m^{2}-2\right]\), więc \[\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}=m+m^{2}-2=(m+2)(m-1)\gt 0\iff m\lt -2\ \text{lub}\ m\gt 1.\] **Krok \(8\).** Kąt przy wierzchołku \(B\). Mamy \(\overrightarrow{BA}=[-1,-1]\) oraz \(\overrightarrow{BC}=\left[m-1,\ m^{2}-3\right]\), więc \[\overrightarrow{BA}\circ\overrightarrow{BC}=-(m-1)-\left(m^{2}-3\right)=-m^{2}-m+4\gt 0\iff m^{2}+m-4\lt 0.\] Ponieważ \(\Delta=1+16=17\), otrzymujemy \[m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right).\] **Krok \(9\).** Kąt przy wierzchołku \(C\). Mamy \(\overrightarrow{CA}=\left[-m,\ 2-m^{2}\right]\) oraz \(\overrightarrow{CB}=\left[1-m,\ 3-m^{2}\right]\), więc \[\overrightarrow{CA}\circ\overrightarrow{CB}=m^{4}-4m^{2}-m+6=\left(m^{2}-2\right)^{2}+(2-m).\] **Krok \(10\).** Pokazujemy, że to wyrażenie jest dodatnie dla każdego \(m\). Jeżeli \(m\leqslant 2\), to \(2-m\geqslant 0\) i \(\left(m^{2}-2\right)^{2}\geqslant 0\), przy czym oba składniki nie mogą zerować się jednocześnie (dla \(m=2\) pierwszy składnik jest równy \(4\)). Jeżeli \(m\gt 2\), to \((m-2)(m+1)\gt 0\), czyli \(m^{2}-2\gt m\gt 2\), a stąd \(\left(m^{2}-2\right)^{2}\gt m^{2}\gt m-2\). W obu przypadkach suma jest dodatnia, więc kąt przy \(C\) jest ostry zawsze. **Krok \(11\).** Wyznaczamy część wspólną warunków z kroków \(7\)–\(9\) (warunek z kroku \(9\) nic nie odrzuca): \[m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\ -2\right)\cup\left(1,\ \frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right).\] Wartości \(m=-1\) i \(m=2\) i tak do tego zbioru nie należą. **Uwaga.** Ostrokątność wymaga sprawdzenia wszystkich trzech kątów. Kąt przy \(C\) okazuje się zawsze ostry, ale to trzeba uzasadnić — bez tego dowód jest niepełny. **Odpowiedź.** **a)** \(P(m)=\frac{1}{2}\left\lvert m^{2}-m-2\right\rvert\) dla \(m\in\mathbb{R}\setminus\{-1,2\}\). **b)** Trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny dokładnie dla \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},-2\right)\cup\left(1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\).

**Zasady oceniania dla podpunktu a)** **1 pkt** – gdy zapisze współrzędne punktu \(C\) w zależności od zmiennej \(m\): \(C=(m,\,m^{2})\). **2 pkt** – gdy: • wyznaczy wysokość \(h_{C}\) trójkąta \(ABC\) opuszczoną z wierzchołka \(C\) w zależności od \(m\): \(h_{C}=\frac{\lvert m-m^{2}+2\rvert}{\sqrt{2}}\) ALBO • wyznaczy współrzędne dwóch wektorów zaczepionych w jednym z wierzchołków trójkąta \(ABC\), rozpinających trójkąt \(ABC\), np. \(\overrightarrow{AC}=[m,\,m^{2}-2]\), \(\overrightarrow{AB}=[1,\,1]\) ALBO • wyznaczy długości odcinków \(AC\) i \(BC\) w zależności od zmiennej \(m\) oraz wyznaczy długość odcinka \(AB\): \(\lvert AC\rvert=\sqrt{m^{2}+(m^{2}-2)^{2}}\), \(\lvert BC\rvert=\sqrt{(m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}}\), \(\lvert AB\rvert=\sqrt{2}\) **3 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i zapisze wzór na pole trójkąta \(ABC\) w zależności od zmiennej \(m\): \(P(m)=\frac{1}{2}\cdot\lvert m^{2}-m-2\rvert\) dla \(m\ne -1\) i \(m\ne 2\). **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający wyznaczy poprawny wzór funkcji \(P(m)\), lecz nie poda dziedziny tej funkcji, to może za rozwiązanie podpunktu a) otrzymać \(3\) punkty. 2. Jeżeli zdający przyjmuje \(C=(x,\,x^{2})\), konsekwentnie rozwiązuje podpunkt a) zadania do końca, otrzymując \(P(x)=\frac{1}{2}\cdot\lvert x^{2}-x-2\rvert\), to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty. **Zasady oceniania dla podpunktu b)** **1 pkt** – gdy: • zauważy, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(C\) leży na jednym z fragmentów \(M_{1}M_{2}\) lub \(N_{1}N_{2}\) paraboli ALBO • zapisze równania prostych prostopadłych do prostej \(AB\) przechodzących przez punkt \(A\) i \(B\) ALBO • zapisze, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest ostry i zapisze warunki na to, żeby kąty przy wierzchołkach \(A\) i \(B\) były ostre ALBO • zapisze warunki na to, aby kąty przy wierzchołkach \(A\), \(B\) i \(C\) były ostre, np.: \(\cos\lvert\measuredangle CAB\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle ABC\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle ACB\rvert>0\) lub \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\rvert>0\) oraz \(\cos\lvert\measuredangle(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})\rvert>0\) lub \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}>0\) oraz \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}>0\) oraz \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}>0\) lub \(\lvert AB\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}>\lvert CA\rvert^{2}\), \(\lvert BC\rvert^{2}+\lvert CA\rvert^{2}>\lvert AB\rvert^{2}\), \(\lvert AC\rvert^{2}+\lvert AB\rvert^{2}>\lvert BC\rvert^{2}\) **2 pkt** – gdy: • wyznaczy równania prostych \(M_{1}N_{1}\) oraz \(M_{2}N_{2}\) oraz obliczy odcięte co najmniej dwóch punktów spośród \(M_{1}\), \(N_{1}\), \(M_{2}\), \(N_{2}\) i stwierdzi, że trójkąt ten jest ostrokątny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt \(C\) leży na jednym z fragmentów \(M_{1}M_{2}\) lub \(N_{1}N_{2}\) paraboli ALBO • zapisze układ nierówności: \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+2-(m-1)^{2}-(m^{2}-3)^{2}>0\) i \((m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}+2-m^{2}-(m^{2}-2)^{2}>0\) i \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+(m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}-2>0\) ALBO • stwierdzi, że w każdym z rozpatrywanych trójkątów \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(C\) jest ostry oraz zapisze układ nierówności: \(m^{2}+(m^{2}-2)^{2}+2-(m-1)^{2}-(m^{2}-3)^{2}>0\) i \((m-1)^{2}+(m^{2}-3)^{2}+2-m^{2}-(m^{2}-2)^{2}>0\) ALBO • zapisze układ nierówności: \(m^{2}+m-2>0\) i \(m^{4}-4m^{2}-m+6>0\) i \(-m^{2}-m+4>0\) **3 pkt** – gdy zastosuje poprawną metodę i wyznaczy wartości \(m\) dla których trójkąt \(ABC\) jest ostrokątny: \(m\in\left(\frac{-1-\sqrt{17}}{2},\,-2\right)\cup\left(1,\,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right)\). **Uwaga:** Jeżeli zdający, rozwiązując część b) sposobem 1., nie stwierdzi, że kąt przy wierzchołku \(C\) jest zawsze ostry, to może otrzymać co najwyżej \(2\) punkty.

**Wymagania egzaminacyjne 2021** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** P4.9) Zdający wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie pewnych informacji o tej funkcji lub o jej wykresie; R7.4) Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich […]. Łącznie za zadanie zdający może otrzymać 6 punktów: 3 punkty za rozwiązanie podpunktu a) oraz 3 punkty za rozwiązanie podpunktu b).