Ostrosłupy
Zadanie 33, maj 2013, poziom podstawowy
Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(100\,\mathrm{cm}^2\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260\,\mathrm{cm}^2\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź
\[V=400\ \mathrm{cm}^3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podstawą jest kwadrat o polu \(100\,\mathrm{cm}^2\), więc jego bok ma długość \(a=10\,\mathrm{cm}\).
Cztery przystające ściany boczne mają łączne pole \(260\,\mathrm{cm}^2\), zatem dla wysokości ściany bocznej \(h\)
\[4\cdot\frac{a h}2=260\quad\Longrightarrow\quad 20h=260\quad\Longrightarrow\quad h=13\ \mathrm{cm}.\]
Wysokość ostrosłupa wyznaczamy z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(H\) i \(\frac a2=5\) oraz przeciwprostokątnej \(h=13\):
\[H=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{cm}.\]
Objętość:
\[V=\frac13\cdot100\cdot12=400\ \mathrm{cm}^{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=400\,\mathrm{cm}^3\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: obliczenie długości krawędzi podstawy a = 10.
2 pkt: obliczenie wysokości ściany bocznej h = 13 i poprawne rozróżnienie jej od wysokości ostrosłupa.
3 pkt: obliczenie wysokości ostrosłupa H = 12.
4 pkt: obliczenie objętości V = 400 cm³.
Wymagania podstawy programowej
Użycie i tworzenie strategii. Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b).
