Inne zagadnienia
Zadanie 31, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy **bez zwracania** kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\).
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{7}{30}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Losujemy **bez zwracania** i zapisujemy liczby w kolejności losowania, więc zdarzeniem elementarnym jest para uporządkowana różnych elementów zbioru \(K\). Z reguły mnożenia
\[|\Omega|=6\cdot5=30,\]
a wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.
Zdarzeniu \(A\) sprzyjają pary, w których pierwsza liczba jest parzysta, czyli należy do \(\{2,4,6\}\), a iloczyn obu liczb jest większy od \(16\). Rozpatrujemy kolejno pierwszą wylosowaną liczbę:
- \(2\): iloczyn \(2y>16\) wymaga \(y>8\), a największym elementem \(K\) jest \(7\) — żadnej pary,
- \(4\): \(4y>16\) daje \(y>4\), czyli \(y\in\{5,6,7\}\) — pary \((4,5)\), \((4,6)\), \((4,7)\),
- \(6\): \(6y>16\) daje \(y>\frac83\), czyli \(y\in\{3,4,5,7\}\) (liczby \(6\) nie można powtórzyć) — pary \((6,3)\), \((6,4)\), \((6,5)\), \((6,7)\).
Łącznie \(|A|=3+4=7\).
Z definicji klasycznej
\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{7}{30}.\]
**Odpowiedź.** \(P(A)=\frac{7}{30}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne określenie liczby wyników |Ω| = 30 albo wszystkich siedmiu wyników sprzyjających, ewentualnie równoważny pełny model.
2 pkt: poprawna metoda i wynik P(A) = 7/30. Losowanie ze zwracaniem daje 0 pkt.
Wymagania podstawy programowej
**Sprawdzana umiejętność:** budowanie modelu klasycznego dla losowania bez zwracania z uwzględnieniem kolejności oraz zliczanie zdarzeń sprzyjających opisanych dwoma warunkami jednocześnie.
Klucz CKE do tego arkusza nie zawiera tabeli wymagań podstawy programowej; opis ustalono na podstawie treści zadania i jego rozwiązania.
