Geometria płaska
Zadanie 16, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(\lvert\angle ABD\rvert=18^{\circ}\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek).
Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa
**A.** \(36^{\circ}\)
**B.** \(60^{\circ}\)
**C.** \(72^{\circ}\)
**D.** \(81^{\circ}\)
Odpowiedź
**C.** \(\lvert\angle BCA\rvert=72^{\circ}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(ABD\) jest kątem wpisanym opartym na łuku \(AD\) niezawierającym punktu \(B\), więc
\[\overset{\frown}{AD}=2\cdot18^{\circ}=36^{\circ}.\]
Odcinek \(BD\) jest średnicą, więc dzieli okrąg na dwa łuki po \(180^{\circ}\). Punkt \(A\) leży na tym samym półokręgu co \(D\) względem… dokładniej: łuk \(BAD\) ma \(180^{\circ}\) i składa się z łuków \(BA\) oraz \(AD\), zatem
\[\overset{\frown}{AB}=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}.\]
Z rysunku punkt \(C\) leży na drugim półokręgu, więc kąt wpisany \(BCA\) jest oparty na łuku \(AB\) o mierze \(144^{\circ}\):
\[\lvert\angle BCA\rvert=\tfrac12\cdot144^{\circ}=72^{\circ}.\]
**Odpowiedź.** C. \(72^{\circ}\)
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
7.1) Zdający stosuje zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym.
