Geometria płaska
Zadanie 20, czerwiec 2021, poziom podstawowy
W trójkącie równoramiennym największy kąt ma \(120^{\circ}, a\) najdłuższy bok \(12\). Najkrótsza wysokość ma długość
A. \(6\)
B. \(2\sqrt{3}\)
C. \(4\sqrt{3}\)
D. \(6\sqrt{3}\)
Odpowiedź
B. \(2\sqrt{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
W trójkącie równoramiennym największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku, więc kąt \(120^\circ\) jest zawarty między ramionami, a podstawa ma długość \(12\).
Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach \(60^\circ\) i \(30^\circ\), więc
\[h_{12}=6\cdot\operatorname{tg}30^\circ=6\cdot\frac{\sqrt3}{3}=2\sqrt3,\qquad a=\frac{6}{\cos30^\circ}=4\sqrt3\]
(gdzie \(a\) oznacza ramię).
Najkrótsza wysokość jest opuszczona na najdłuższy bok — iloczyn boku i odpowiadającej mu wysokości jest stały i równy podwojonemu polu. Ponieważ najdłuższym bokiem jest podstawa \(12\), najkrótszą wysokością jest \(h_{12}=2\sqrt3\).
Sprawdzenie: \(P=\frac12\cdot12\cdot2\sqrt3=12\sqrt3\), a wysokość opuszczona na ramię wynosi \(\frac{2P}{4\sqrt3}=6>2\sqrt3\).
**Odpowiedź.** B. \(2\sqrt3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 20.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2021 nie zawiera tabeli wymagań egzaminacyjnych. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
