Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 30, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i
\[\sin\alpha+\cos\alpha=\sqrt2.\]
Oblicz wartość wyrażenia
\[\tan\alpha+\frac1{\tan\alpha}.\]
Odpowiedź
\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Podnosimy warunek do kwadratu:
\[(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=2.\]
Ponieważ \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), otrzymujemy
\[1+2\sin\alpha\cos\alpha=2,\qquad \sin\alpha\cos\alpha=\frac12.\]
Następnie
\[\operatorname{tg}\alpha+\frac1{\operatorname{tg}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac1{1/2}=2.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – obliczenie wartości wyrażenia: \(2\)
**1 pkt** – sprowadzenie wyrażenia do \(\frac1{\sin\alpha\cos\alpha}\) albo wyznaczenie \(\sin\alpha\cos\alpha=\frac12\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - jedynka trygonometryczna, tangens i przekształcanie wyrażeń trygonometrycznych.
