Trójkąty
Zadanie 16, czerwiec 2018, poziom podstawowy
Odcinek AB jest średnicą okręgu o środku O i promieniu r. Na tym okręgu wybrano punkt C,
taki, że \(OB = BC\) (zobacz rysunek).
Pole trójkąta AOC jest równe
\(1\) \(1\) π \(3\)
A. r \(2\) B. r \(2\) C. r \(2\) D. r \(2\)
\(2\) \(4\) \(4\) \(4\)
Odczyt redakcyjny — treść w arkuszu jest uszkodzona
Prawdopodobny zapis wariantów: **A.** \(\frac12r^2\), **B.** \(\frac14r^2\), **C.** \(\frac{\pi}{4}r^2\), **D.** \(\frac{\sqrt3}{4}r^2\).
układ tokenów w zapisie zastanym (liczniki \(1\), \(1\), \(\pi\), \(3\) w wierszu nad literami i mianowniki \(2\), \(4\), \(4\), \(4\) w wierszu pod nimi tworzą cztery ułamki), zgodność z rysunkiem CKE, na którym warianty mają postać \(\frac{\sqrt3}{4}r^2\), oraz rachunek: \(P=\frac12r^2\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}{4}r^2\).
Odpowiedź
D
Rozwiązanie krok po kroku
Odcinki \(OB\) i \(OC\) są promieniami, a z warunku zadania \(\lvert OB\rvert=\lvert BC\rvert\). Zatem
\[\lvert OB\rvert=\lvert OC\rvert=\lvert BC\rvert=r,\]
czyli trójkąt \(OBC\) jest równoboczny i \(\lvert\angle BOC\rvert=60^\circ\).
Punkty \(A\), \(O\), \(B\) leżą na jednej prostej (\(AB\) jest średnicą), więc kąty \(AOC\) i \(BOC\) są przyległe:
\[\lvert\angle AOC\rvert=180^\circ-60^\circ=120^\circ.\]
Trójkąt \(AOC\) ma boki \(\lvert OA\rvert=\lvert OC\rvert=r\) i kąt \(120^\circ\) między nimi:
\[P=\tfrac12r^2\sin120^\circ=\tfrac12r^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{4}r^2.\]
**Odpowiedź.** D. \(\dfrac{\sqrt3}{4}r^2\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 16.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Geometria płaska.
