Trójkąty
Zadanie 28, czerwiec 2017, poziom podstawowy
Dwusieczna kąta ostrego ABC przecina przyprostokątną AC trójkąta prostokątnego ABC
w punkcie D.
B
A D C
\(1\)
Udowodnij, że jeżeli \(AD = BD\), to \(CD = \cdot BD\) .
\(2\)
Odpowiedź
\[\lvert CD\rvert=\tfrac12\lvert BD\rvert.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\lvert\angle ABC\rvert=2\alpha\); dwusieczna dzieli ten kąt na dwa kąty po \(\alpha\), więc \(\lvert\angle ABD\rvert=\lvert\angle DBC\rvert=\alpha\).
Z założenia \(\lvert AD\rvert=\lvert BD\rvert\), więc trójkąt \(ABD\) jest równoramienny o podstawie \(AB\) i kąty przy tej podstawie są równe:
\[\lvert\angle BAD\rvert=\lvert\angle ABD\rvert=\alpha.\]
Kąt \(BAD\) jest kątem \(BAC\) trójkąta \(ABC\) (punkt \(D\) leży na boku \(AC\)). W trójkącie prostokątnym \(ABC\) kąty ostre sumują się do \(90^\circ\):
\[\alpha+2\alpha=90^\circ,\qquad \alpha=30^\circ.\]
Trójkąt \(BCD\) jest prostokątny (kąt prosty przy \(C\)) i ma kąt \(\lvert\angle DBC\rvert=30^\circ\), zatem
\[\frac{\lvert CD\rvert}{\lvert BD\rvert}=\sin30^\circ=\frac12,\qquad \lvert CD\rvert=\tfrac12\lvert BD\rvert,\]
co należało udowodnić.
**Odpowiedź.** \(\lvert CD\rvert=\frac12\lvert BD\rvert\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie miar kątów pozwalających na dowód, np. \(\lvert\angle DBC\rvert=30^\circ\).
**2 pkt** – pełny dowód zależności \(\lvert CD\rvert=\frac12\lvert BD\rvert\).
Wymagania podstawy programowej
V. Rozumowanie i argumentacja. 7. Planimetria. Zdający korzysta z własności funkcji trygonometrycznych w łatwych obliczeniach geometrycznych (7.4).
