Trójkąty
Zadanie 12, czerwiec 2015, poziom rozszerzony
Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|BC|=a\). Z wierzchołka \(B\) poprowadzono środkową \(BD\) do boku \(AC\). Punkt \(S\) jest środkiem odcinka \(BD\). Przez punkty \(A\) i \(S\) poprowadzono prostą, która przecięła bok \(BC\) w punkcie \(P\). Wykaż, że długość odcinka \(CP\) jest równa
\[|CP|=\frac23a.\]
Odpowiedź
\[|CP|=\frac23a.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Przyjmijmy wektorowo \(B=\mathbf0\), \(C=\mathbf c\), gdzie \(|\mathbf c|=a\), oraz \(A=\mathbf u\). Wtedy
\[D=\frac{\mathbf u+\mathbf c}{2},\qquad S=\frac{D}{2}=\frac{\mathbf u+\mathbf c}{4}.\]
Punkt prostej \(AS\) ma postać
\[\mathbf u+t\left(\frac{\mathbf u+\mathbf c}{4}-\mathbf u\right)=\left(1-\frac{3t}{4}\right)\mathbf u+\frac{t}{4}\mathbf c.\]
Leży na \(BC\), gdy współczynnik przy \(\mathbf u\) jest zerowy, czyli dla \(t=\frac43\). Stąd \(P=\frac13\mathbf c\), zatem \(|BP|=\frac13a\) i \(|CP|=a-\frac13a=\frac23a\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – pełny dowód, że \(|CP|=\frac23a\)
**3 pkt** – wyznaczenie równoważnej zależności \(|BP|=\frac13a\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie położeń punktów \(D\) i \(S\) albo równoważnych proporcji
**1 pkt** – istotne wykorzystanie faktu, że \(BD\) jest środkową, a \(S\) środkiem \(BD\)
**0 pkt** – brak koniecznego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
CKE V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
planimetria - środkowe, podział odcinka i zależności afiniczne w trójkącie.
