Trójkąty
Zadanie 31, czerwiec 2014, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt \(ABC\). Odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta, punkt \(E\) jest środkiem boku \(BC\) (tak jak na rysunku) i \(|CD|=|DE|\). Udowodnij, że trójkąt \(CDE\) jest równoboczny.
Odpowiedź
Wykazano, że
\[|CD|=|DE|=|CE|.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(CD\perp AB\), trójkąt \(CDB\) jest prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest \(CB\). Punkt \(E\) jest środkiem tej przeciwprostokątnej. Środek przeciwprostokątnej jest równoodległy od wszystkich wierzchołków trójkąta prostokątnego, zatem
\[|EC|=|ED|=|EB|.\]
Z założenia \(|CD|=|DE|\), więc
\[|CD|=|DE|=|CE|.\]
Trójkąt \(CDE\) ma trzy boki równej długości, jest więc równoboczny.
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – pełny dowód wykorzystujący własność środka przeciwprostokątnej
**1 pkt** – poprawne stwierdzenie \(|EC|=|ED|=|EB|\) z uzasadnieniem opartym na trójkącie prostokątnym
**0 pkt** – rozumowanie błędne albo brak dowodu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
V. Rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający wykorzystuje własność środka przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego do dowodzenia równości boków.
