Zadanie 23 – matura z matematyki maj 2026, poziom podstawowy

**D.** \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\)

**Krok \(1\).** Szukamy tangensa, a w warunku występują sinus i cosinus. Celem przekształceń jest więc doprowadzenie do ilorazu \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), bo to właśnie jest \(\tan\alpha\). **Krok \(2\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt 0\). Mianownik \(4\cos\alpha\) jest zatem różny od zera i wolno przez niego pomnożyć obie strony: \[3\sin\alpha+4\cos\alpha=6\cdot 4\cos\alpha=24\cos\alpha.\] **Krok \(3\).** Przenosimy \(4\cos\alpha\) na prawą stronę: \[3\sin\alpha=24\cos\alpha-4\cos\alpha=20\cos\alpha.\] **Krok \(4\).** Dzielimy obie strony przez \(3\cos\alpha\) (znów wolno, bo \(\cos\alpha\gt 0\)): \[\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{20}{3}.\] **Krok \(5\).** Lewa strona to z definicji tangens, więc \[\tan\alpha=\frac{20}{3}.\] **Krok \(6\).** Szybszy wariant tego samego rachunku: rozbijamy ułamek z treści na dwa składniki \[\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha}+\frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha}=6,\qquad \frac34\tan\alpha+1=6,\] skąd \(\frac34\tan\alpha=5\) i \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\). **Uwaga.** Częsty błąd to skrócenie \(\cos\alpha\) w ułamku z treści już na starcie, tak jakby licznik był iloczynem. Skracać można tylko czynniki, a w liczniku jest suma — najpierw trzeba pomnożyć obie strony przez mianownik albo rozbić ułamek na dwa składniki, jak w kroku \(6\). **Odpowiedź.** D. \(\tan\alpha=\frac{20}{3}\)

1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych. **Wymagania szczegółowe:** VII.2) Zdający korzysta z wzorów \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).