Funkcje
Zadanie 29, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\frac14\). Oblicz
\[3+2\operatorname{tg}^2\alpha.\]
Odpowiedź
\[\frac{47}{15}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Dany jest sinus, a szukamy wyrażenia z tangensem. Droga jest więc taka: z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy cosinus, a potem korzystamy z definicji \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). Informacja, że kąt jest ostry, będzie potrzebna do ustalenia znaku cosinusa.
**Krok \(2\).** Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\):
\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac14\right)^2=1-\frac1{16}=\frac{15}{16}.\]
**Krok \(3\).** Kąt \(\alpha\) jest ostry, więc \(\cos\alpha\gt0\) i bierzemy pierwiastek dodatni:
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}.\]
**Krok \(4\).** Liczymy tangens:
\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac14}{\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{15}}.\]
**Krok \(5\).** Podnosimy do kwadratu:
\[\operatorname{tg}^2\alpha=\frac{1}{15}.\]
(Można też krócej, bez wyciągania pierwiastka: \(\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{\frac1{16}}{\frac{15}{16}}=\dfrac1{15}\)).
**Krok \(6\).** Wstawiamy do szukanego wyrażenia:
\[3+2\operatorname{tg}^2\alpha=3+2\cdot\frac1{15}=3+\frac{2}{15}=\frac{45}{15}+\frac{2}{15}=\frac{47}{15}.\]
**Uwaga.** Nie trzeba usuwać niewymierności z mianownika w kroku \(4\), bo i tak podnosimy tangens do kwadratu. Krótsza droga z kroku \(5\) pozwala w ogóle uniknąć pierwiastka.
**Odpowiedź.** \(3+2\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{47}{15}\).
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawny wynik \(\frac{47}{15}\)
**1 pkt** – poprawne wyznaczenie \(\operatorname{tg}^2\alpha=\frac1{15}\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
6.4. Zdający stosuje zależności \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) oraz \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\).
