Ciągi
Zadanie 30, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom podstawowy
Ile wyrazów ujemnych ma ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=n^2-2n-24\]
dla \(n\geq1\)?
Odpowiedź
Ciąg ma \(5\) wyrazów ujemnych.
Rozwiązanie krok po kroku
Szukamy liczb naturalnych \(n\geq1\), dla których
\[n^2-2n-24<0.\]
Rozkładamy trójmian:
\[n^2-2n-24=(n-6)(n+4).\]
Iloczyn jest ujemny dla \(-4<n<6\). Po uwzględnieniu warunku \(n\geq1\) otrzymujemy
\[n\in\{1,2,3,4,5\}.\]
Są to dokładnie \(5\) wartości indeksu.
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 2 pkt** – poprawna liczba pięciu wyrazów z uzasadnieniem
**1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(n^2-2n-24<0\) przed uwzględnieniem naturalnych indeksów
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
5.1. Zdający wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym.
