Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 24, sierpień 2013, poziom podstawowy
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{3}\). Wtedy wartość wyrażenia \(2\cos^2\alpha-1\) jest równa
**A.** \(0\)
**B.** \(\dfrac13\)
**C.** \(\dfrac59\)
**D.** \(1\)
Odpowiedź
**B.** \(\dfrac13\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W wyrażeniu \(2\cos^2\alpha-1\) występuje kwadrat cosinusa, a w danych mamy sinus. Łącznikiem między nimi jest jedynka trygonometryczna
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]
Dzięki niej nie musimy w ogóle szukać kąta \(\alpha\).
**Krok \(2\).** Obliczamy \(\sin^2\alpha\), podnosząc daną wartość do kwadratu:
\[\sin^2\alpha=\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2=\frac{(\sqrt3)^2}{3^2}=\frac{3}{9}=\frac13.\]
**Krok \(3\).** Z jedynki trygonometrycznej wyznaczamy kwadrat cosinusa:
\[\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\frac13=\frac23.\]
**Krok \(4\).** Podstawiamy do wyrażenia z treści:
\[2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac23-1=\frac43-1=\frac43-\frac33=\frac13.\]
**Uwaga.** Nie trzeba wyznaczać samego \(\cos\alpha\) ani miary kąta - w wyrażeniu występuje tylko \(\cos^2\alpha\). Informacja, że kąt jest ostry, gwarantuje jedynie, że \(\cos\alpha\gt 0\), ale przy kwadracie znak i tak nie ma znaczenia.
**Odpowiedź.** B: \(\dfrac13\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
*Standardowy schemat oceniania CKE dla zadania zamkniętego za \(1\) punkt; arkusz z tej sesji nie zawiera odrębnej tabeli punktowania dla tego zadania.*
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 24. Klucz CKE dla sesji poprawkowej 2013 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Trygonometria.
