Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 3, maj 2022, poziom rozszerzony
Jeżeli
\[\cos\beta=-\frac13\qquad\text{i}\qquad\beta\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right),\]
to wartość wyrażenia \(\sin\left(\beta-\frac13\pi\right)\) jest równa
**A.** \(\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}\)
**B.** \(\frac{2\sqrt6+1}{6}\)
**C.** \(\frac{2\sqrt2+\sqrt3}{6}\)
**D.** \(\frac{1-2\sqrt6}{6}\)
Odpowiedź
**A.** \(\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ponieważ \(\beta\in(\pi,\frac{3\pi}{2})\), sinus kąta \(\beta\) jest ujemny. Z tożsamości trygonometrycznej otrzymujemy
\[\sin\beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\sqrt{1-\frac19}=-\frac{2\sqrt2}{3}.\]
Korzystamy ze wzoru na sinus różnicy:
\[\sin\left(\beta-\frac{\pi}{3}\right)=\sin\beta\cos\frac{\pi}{3}-\cos\beta\sin\frac{\pi}{3}\]
\[=-\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac12-\left(-\frac13\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}.\]
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
R6.5 stosowanie wzoru na sinus różnicy kątów.
