Inne zagadnienia
Zadanie 33, maj 2022, poziom podstawowy
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). **Oblicz miarę kąta \(BAC\).**
Odpowiedź
\[\angle BAC=72^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\angle BAC=2\alpha\). Ponieważ \(AD\) jest dwusieczną, \(\angle BAD=\alpha\). Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, więc \(\angle ABC=2\alpha\). Z podobieństwa trójkątów \(ABC\) i \(BDA\) wynika \(\angle ADB=2\alpha\). W trójkącie \(ABD\) mamy zatem
\[\alpha+2\alpha+2\alpha=180^\circ,\]
więc \(\alpha=36^\circ\). Stąd
\[\angle BAC=2\alpha=72^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne wykorzystanie podobieństwa i wynik \(\angle BAC=72^\circ\)
**1 pkt** – poprawne oznaczenie kątów prowadzące do równania \(5\alpha=180^\circ\) albo równoważny istotny krok
**0 pkt** – brak poprawnego postępu
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
7.3 rozpoznawanie trójkątów podobnych i wykorzystywanie ich własności.
