Funkcje
Zadanie 14, maj 2017, poziom podstawowy
Jeśli
\[m=\sin50^\circ,\]
to
**A.** \(m=\sin40^\circ\)
**B.** \(m=\cos40^\circ\)
**C.** \(m=\cos50^\circ\)
**D.** \(m=\tan50^\circ\)
Odpowiedź
**B.** \(m=\cos40^\circ\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Kąt \(50^\circ\) nie jest kątem tablicowym, więc nic tu nie policzymy liczbowo. Zamiast tego trzeba rozpoznać związek między funkcjami kątów, które **dopełniają się do** \(90^\circ\) — a właśnie \(50^\circ+40^\circ=90^\circ\), i to kąty \(40^\circ\) oraz \(50^\circ\) występują w odpowiedziach.
**Krok \(2\).** Skąd bierze się ten związek. W trójkącie prostokątnym kąty ostre mają miary \(\alpha\) i \(90^\circ-\alpha\). Ta sama przyprostokątna leży naprzeciw kąta \(\alpha\) i jednocześnie przy kącie \(90^\circ-\alpha\). Ponieważ sinus to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, a cosinus — przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej, oba stosunki są identyczne:
\[\sin\alpha=\cos\left(90^\circ-\alpha\right).\]
**Krok \(3\).** Podstawiamy \(\alpha=50^\circ\):
\[m=\sin50^\circ=\cos\left(90^\circ-50^\circ\right)=\cos40^\circ.\]
**Krok \(4\).** Sprawdzamy pozostałe możliwości. Sinus rośnie dla kątów ostrych, więc \(\sin50^\circ\gt\sin40^\circ\) — odpada **A**. Równość \(\sin\alpha=\cos\alpha\) zachodzi tylko dla \(\alpha=45^\circ\), więc \(\sin50^\circ\ne\cos50^\circ\) — odpada **C**. Dla kąta \(50^\circ\) mamy \(\tan50^\circ\gt1\), podczas gdy \(\sin50^\circ\lt1\) — odpada **D**.
**Odpowiedź.** B: \(m=\cos40^\circ\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź B
**0 pkt** – odpowiedź błędna lub brak
Wymagania podstawy programowej
**Klasyfikacja CKE:** trygonometria - funkcje trygonometryczne kątów dopełniających.
