Czworokąty
Zadanie 29, maj 2011, poziom podstawowy
Dany jest czworokąt \(ABCD\), w którym \(AB\parallel CD\). Na boku \(BC\) wybrano taki punkt \(E\), że \(|EC|=|CD|\) i \(|EB|=|BA|\). Wykaż, że kąt \(AED\) jest prosty.
Odpowiedź
Kąt \(AED\) jest prosty.
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(\alpha=\lvert\angle CED\rvert\) oraz \(\beta=\lvert\angle AEB\rvert\).
Z założenia \(\lvert EC\rvert=\lvert CD\rvert\), więc trójkąt \(DCE\) jest równoramienny o podstawie \(DE\); kąty przy tej podstawie są równe i
\[\lvert\angle DCE\rvert=180^\circ-2\alpha.\]
Podobnie \(\lvert EB\rvert=\lvert BA\rvert\), więc trójkąt \(ABE\) jest równoramienny o podstawie \(AE\) i
\[\lvert\angle ABE\rvert=180^\circ-2\beta.\]
Punkt \(E\) leży na boku \(BC\), a \(AB\parallel CD\), więc kąty \(ABE\) i \(DCE\) są kątami wewnętrznymi jednostronnymi przy prostej \(BC\) przecinającej proste równoległe. Ich suma wynosi \(180^\circ\):
\[(180^\circ-2\beta)+(180^\circ-2\alpha)=180^\circ,\qquad \alpha+\beta=90^\circ.\]
Kąty \(AEB\), \(AED\) i \(DEC\) tworzą kąt półpełny o wierzchołku \(E\) leżącym na odcinku \(BC\), zatem
\[\lvert\angle AED\rvert=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-90^\circ=90^\circ,\]
co należało wykazać.
**Odpowiedź.** Kąt \(AED\) jest prosty.
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: poprawne zapisanie zależności między kątami w trójkątach równoramiennych ABE i DCE.
2 pkt: pełne uzasadnienie, że ∠AED = 90°.
Wymagania podstawy programowej
Rozumowanie i argumentacja. Uzasadnienie, że wskazany kąt jest prosty.
