Potęgi i pierwiastki
Zadanie 3, czerwiec 2026, poziom rozszerzony
Wartość wyrażenia
\[\sqrt{25^{a}+49^{b}}\]
dla \(\displaystyle a=\frac{1}{\log_{6}5}\) oraz \(\displaystyle b=\frac{1}{\log_{8}7}\) jest równa
**A.** \(9\)
**B.** \(10\)
**C.** \(12\)
**D.** \(15\)
Odpowiedź
**B.** \(10\)
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu mamy \(a=\log_{5}6\) oraz \(b=\log_{7}8\). Stąd
\[25^{a}=5^{2\log_{5}6}=36,\qquad 49^{b}=7^{2\log_{7}8}=64.\]
Zatem \(\sqrt{25^{a}+49^{b}}=\sqrt{100}=10\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt – odpowiedź poprawna.
0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
1.2R) Zdający stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
