Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 7, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Udowodnij, że dla dowolnego kąta \(\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)\) prawdziwa jest nierówność
\[\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cdot\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)<\frac14.\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(\alpha\in\left(0,\frac\pi2\right)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Korzystamy ze wzoru \(2\sin u\cos v=\sin(u+v)+\sin(u-v)\). Dla
\[u=\frac\pi{12}-\alpha,\qquad v=\frac\pi{12}+\alpha\]
otrzymujemy
\[2\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\sin\frac\pi6-\sin2\alpha.\]
Zatem
\[\sin\left(\frac\pi{12}-\alpha\right)\cos\left(\frac\pi{12}+\alpha\right)=\frac14-\frac12\sin2\alpha.\]
Ponieważ \(\alpha\in(0,\frac\pi2)\), to \(2\alpha\in(0,\pi)\), a więc \(\sin2\alpha>0\). Stąd
\[\frac14-\frac12\sin2\alpha<\frac14,\]
co kończy dowód.
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – przeprowadzenie pełnego dowodu
**2 pkt** – sprowadzenie nierówności do postaci \(\frac12-\sin2\alpha<\frac12\) lub równoważnej, ale bez pełnego uzasadnienia znaku
**1 pkt** – poprawne użycie wzoru na iloczyn sinusa i cosinusa albo innego równoważnego przekształcenia wskazanego w kluczu CKE
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** trygonometria - wzory redukcyjne i wzory na sumę lub różnicę kątów, znaki funkcji trygonometrycznych oraz dowodzenie nierówności.
