Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 5, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu \(f(x)=\frac{x^{2}}{(x-1)}, x \neq 1\), poprowadzonej w punkcie \(A=(6,\frac{36}{5})\). Wpisz cyfrę jedności i dwie cyfry po przecinku wyniku.
Odpowiedź
\(f'(6)=\frac{24}{25}=0{,}96\) — w kratki wpisujemy cyfry \(0\), \(9\), \(6\).
Rozwiązanie krok po kroku
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej \(x_0\) jest równy \(f'(x_0)\).
Funkcję \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\) różniczkujemy jak iloraz; zakładamy \(x\ne1\):
\[f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\]
Punkt styczności ma odciętą \(x_0=6\); istotnie leży on na wykresie, bo \(\frac{6^2}{6-1}=\frac{36}{5}\). Stąd
\[f'(6)=\frac{6^2-2\cdot6}{(6-1)^2}=\frac{24}{25}=0{,}96.\]
**Odpowiedź.** Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy \(0{,}96\); w kratki wpisujemy kolejno cyfry \(0\), \(9\), \(6\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa: obliczanie pochodnej funkcji wymiernej i interpretowanie jej wartości jako współczynnika kierunkowego stycznej.
