Optymalizacja
Zadanie 31, czerwiec 2025, poziom podstawowy
Producent latarek przeanalizował wpływ zmiany ceny latarki \(L_{25}\) na liczbę kupujących ten produkt. Z analizy wynika, że roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) wyraża się wzorem
\[Z(x)=(500+50x)(16-x),\]
gdzie:
- \(x\) - kwota obniżki ceny latarki \(L_{25}\) (wyrażona w pełnych złotych), spełniająca warunki \(x\geq1\) i \(x\leq14\),
- \(Z\) - roczny zysk ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) (wyrażony w złotych), liczony od momentu obniżenia ceny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Roczny zysk \(Z\) ze sprzedaży latarek \(L_{25}\) będzie największy dla \(x\) równego
**A.** \(3\)
**B.** \(4\)
**C.** \(7\)
**D.** \(14\)
Odpowiedź
**A.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Rozwijamy podany wzór zysku:
\[Z(x)=(500+50x)(16-x)=8000-500x+800x-50x^{2}=-50x^{2}+300x+8000.\]
Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-50<0\), więc jej wykresem jest parabola o ramionach skierowanych w dół i największą wartość przyjmuje ona w wierzchołku.
Pierwsza współrzędna wierzchołka wynosi
\[x_w=-\frac{b}{2a}=-\frac{300}{2\cdot(-50)}=3.\]
Z treści zadania \(x\) jest wyrażone w pełnych złotych i spełnia \(1\leq x\leq14\). Liczba \(3\) jest całkowita i należy do tego przedziału, więc maksimum modelu jest osiągane wewnątrz dziedziny — nie trzeba porównywać wartości na jej krańcach.
**Odpowiedź.** A. \(3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
II. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
**Wymaganie szczegółowe:**
XIII) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
