Potęgi i pierwiastki
Zadanie 2, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wykaż, że jeżeli \(a=\log_{2}14\) oraz \(b=\log_{\sqrt{2}}27\), to
\[\log_{7}54=\frac{b+2}{2a-2}.\]
Odpowiedź
Mamy \(a-1=\log_{2}7\) oraz \(b=\log_{\sqrt{2}}27=2\log_{2}27\). Zatem \(\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2(\log_{2}27+1)}{2\log_{2}7}=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}=\log_{7}54\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: oba logarytmy z założenia sprowadzamy do wspólnej podstawy \(2\), a tezę przekształcamy wzorem na zamianę podstawy.
**Krok \(2\).** Rozkładamy \(14=2\cdot 7\) i korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu:
\[a=\log_{2}14=\log_{2}2+\log_{2}7=1+\log_{2}7,\qquad\text{czyli}\qquad \log_{2}7=a-1.\]
**Krok \(3\).** Zamieniamy podstawę w drugim logarytmie. Ponieważ \(\log_{2}\sqrt{2}=\frac{1}{2}\), to
\[b=\log_{\sqrt{2}}27=\frac{\log_{2}27}{\log_{2}\sqrt{2}}=\frac{\log_{2}27}{\frac{1}{2}}=2\log_{2}27.\]
**Krok \(4\).** Wstawiamy to do prawej strony tezy:
\[\frac{b+2}{2a-2}=\frac{2\log_{2}27+2}{2(a-1)}=\frac{\log_{2}27+1}{a-1}.\]
**Krok \(5\).** Licznik przekształcamy, zapisując \(1=\log_{2}2\):
\[\log_{2}27+1=\log_{2}27+\log_{2}2=\log_{2}54.\]
**Krok \(6\).** Mianownik to \(a-1=\log_{2}7\) (Krok \(2\)), zatem
\[\frac{b+2}{2a-2}=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}=\log_{7}54,\]
gdzie ostatnia równość to wzór na zamianę podstawy logarytmu. To należało wykazać.
**Uwaga.** Warto sprawdzić założenia: \(a-1=\log_{2}7\neq 0\), bo \(7\neq 1\), więc mianownik \(2a-2\) jest różny od zera i całe przekształcenie jest poprawne.
**Odpowiedź.** Dla \(a=\log_{2}14\) i \(b=\log_{\sqrt{2}}27\) zachodzi \(\log_{7}54=\frac{b+2}{2a-2}\).
Klucz i zasady oceniania
**(dla sposobów I-IV)**
**3 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**2 pkt** – przekształcenie wyrażenia \(\frac{\log_{\sqrt{2}}27+2}{2\log_{2}14-2}\) lub \(\log_{7}54\), lub obydwu tych wyrażeń do takiej postaci, z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na logarytm iloczynu lub logarytm ilorazu, lub wzoru na zamianę podstawy logarytmu, lub wzoru na logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne przekształcenie wyrażenia wymiernego można otrzymać tezę
ALBO
– zapisanie jednego równania z \(a\), \(b\) oraz niewiadomą \(x\), np. \((a-1)x=\tfrac{b}{2}+1\) (dla sposobu III),
ALBO
– zapisanie liczby \(2\) w postaci \(7^{\frac{1}{a-1}}\) oraz liczby \(27\) w postaci \(2^{\frac{b}{2}}\) (dla sposobu IV).
**1 pkt** – zastosowanie wzoru na zamianę podstawy logarytmu lub na logarytm iloczynu, lub na logarytm ilorazu, np. \(\log_{7}54=\frac{\log_{2}54}{\log_{2}7}\), \(\log_{7}54=\frac{\log_{\sqrt{2}}54}{\log_{\sqrt{2}}7}\), \(\log_{\sqrt{2}}27+2=\log_{\sqrt{2}}(27\cdot2)\), \(2\log_{2}14-2=2\log_{2}\left(\tfrac{14}{2}\right)\)
ALBO
– zapisanie liczb \(7\) oraz \(27\) jako potęg liczby \(2\): \(7=2^{a-1}\) i \(27=2^{\frac{b}{2}}\) oraz zapisanie równania \(7^x=54\) (dla sposobu III),
ALBO
– zapisanie liczby \(2\) w postaci \(7^{\frac{1}{a-1}}\) (dla sposobu IV).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu
**Wymagania szczegółowe:**
I.9) Zdający stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.
I.R) Zdający stosuje wzór na zamianę podstawy logarytmu.
