Ostrosłupy
Zadanie 10, arkusz pokazowy 2023, poziom rozszerzony
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i polu powierzchni bocznej równym \(P\). Kąt między wysokościami sąsiednich ścian bocznych poprowadzonych z wierzchołka \(S\) ma miarę \(2\alpha\).
Objętość tego ostrosłupa jest równa
\[\sqrt{k\cdot P^3\cdot\sin\alpha\cdot\cos(2\alpha)},\]
gdzie \(k\) jest stałym współczynnikiem liczbowym.
**Oblicz współczynnik \(k\). Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[k=\frac{\sqrt2}{36}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(a\) oznacza długość krawędzi podstawy, \(h\) wysokość ściany bocznej, a \(H\) wysokość ostrosłupa. Pole powierzchni bocznej spełnia
\[P=4\cdot\frac12ah=2ah,\]
więc
\[h=\frac P{2a}.\]
Wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych tworzą trójkąt równoramienny z kątem \(2\alpha\). Po opuszczeniu jego wysokości otrzymujemy
\[\sin\alpha=\frac{a\sqrt2/4}{h}.\]
Po podstawieniu \(h=\frac P{2a}\):
\[a^2=\sqrt2P\sin\alpha,\qquad h^2=\frac../../{4\sqrt2\sin\alpha}.\]
Z twierdzenia Pitagorasa:
\[H^2=h^2-\left(\frac a2\right)^2
=\frac{P\cos(2\alpha)}{4\sqrt2\sin\alpha}.\]
Objętość wynosi
\[V=\frac13a^2H.\]
Po podniesieniu do kwadratu i podstawieniu otrzymanych zależności:
\[V^2=\frac19a^4H^2
=\frac{\sqrt2}{36}P^3\sin\alpha\cos(2\alpha).\]
Zatem
\[V=\sqrt{\frac{\sqrt2}{36}P^3\sin\alpha\cos(2\alpha)},\]
a więc
\[k=\frac{\sqrt2}{36}.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – poprawne zastosowanie wzoru na objętość i obliczenie \(k=\frac{\sqrt2}{36}\)
**5 pkt** – obliczenie wysokości ostrosłupa \(H=\sqrt{\frac{P\cos(2\alpha)}{4\sqrt2\sin\alpha}}\)
**4 pkt** – obliczenie \(a^2=\sqrt2P\sin\alpha\) oraz \(h^2=\frac../../{4\sqrt2\sin\alpha}\)
**3 pkt** – obliczenie jednej z dwóch powyższych zależności
**2 pkt** – zastosowanie definicji sinusa albo twierdzenia cosinusów w odpowiednim przekroju i zapisanie równania prowadzącego do \(a\) lub \(h\)
**1 pkt** – wyznaczenie zależności \(h=\frac P{2a}\) z pola powierzchni bocznej
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja; 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.4) Zdający oblicza objętości i pola powierzchni ostrosłupów, również z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. X.R5) Zdający wyznacza przekroje ostrosłupów prawidłowych oraz oblicza ich pola, także z wykorzystaniem trygonometrii.
