Nierówności
Zadanie 2, sierpień 2010, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[
|2x+2|+|x-2|>5.
\]
Odpowiedź
x∈(−∞,−\(\frac{5}{3}\))∪(\(1\),∞). Punkty −\(1\) i \(2\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu powstałych nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami dostajemy podany zbiór.
Rozwiązanie krok po kroku
Miejsca zerowe wyrażeń pod wartością bezwzględną to \(x=-1\) i \(x=2\).
Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały; w każdym z nich opuszczamy wartości
bezwzględne zgodnie ze znakiem.
Dla \(x<-1\): \(-(2x+2)-(x-2)>5\), czyli \(-3x>5\), stąd \(x<-\tfrac53\).
Częścią wspólną z przedziałem jest \(\left(-\infty,-\tfrac53\right)\).
Dla \(-1\leq x<2\): \((2x+2)-(x-2)>5\), czyli \(x+4>5\), stąd \(x>1\).
Częścią wspólną jest \((1,2)\).
Dla \(x\geq2\): \((2x+2)+(x-2)>5\), czyli \(3x>5\), stąd \(x>\tfrac53\).
Częścią wspólną jest \([2,+\infty)\).
Sumujemy otrzymane zbiory.
**Odpowiedź.** \(x\in\left(-\infty,-\tfrac53\right)\cup(1,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi.
