Zadanie 8 – matura z matematyki sierpień 2010, poziom rozszerzony

\[\lvert\angle CDE\rvert=72^\circ,\qquad \lvert\angle DCE\rvert=72^\circ,\qquad \lvert\angle CED\rvert=36^\circ.\]

Z sumy kątów trójkąta \(ABC\) \[\lvert\angle ACB\rvert=180^\circ-42^\circ-78^\circ=60^\circ.\] Odcinek \(CD\) leży na dwusiecznej tego kąta, więc \[\lvert\angle ACD\rvert=\lvert\angle DCB\rvert=30^\circ.\] **Kąt \(DCE\).** Prosta \(CE\) jest styczna do okręgu opisanego w punkcie \(C\), a \(CB\) jest cięciwą. Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą kąt \(BCE\) jest równy kątowi wpisanemu opartemu na łuku \(BC\) leżącemu po drugiej stronie cięciwy, czyli kątowi \(BAC\): \[\lvert\angle BCE\rvert=42^\circ.\] Z rysunku odczytujemy, że punkt \(E\) leży na przedłużeniu odcinka \(AB\) poza wierzchołkiem \(B\), więc półproste \(CD\) i \(CE\) leżą po tej samej stronie prostej \(CB\) i kąty się dodają: \[\lvert\angle DCE\rvert=\lvert\angle DCB\rvert+\lvert\angle BCE\rvert=30^\circ+42^\circ=72^\circ.\] **Kąt \(CDE\).** W trójkącie \(ACD\) \[\lvert\angle ADC\rvert=180^\circ-42^\circ-30^\circ=108^\circ,\] a kąt \(CDE\) jest do niego przyległy: \[\lvert\angle CDE\rvert=180^\circ-108^\circ=72^\circ.\] **Kąt \(CED\).** Z sumy kątów trójkąta \(CDE\) \[\lvert\angle CED\rvert=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ.\] **Odpowiedź.** \(\lvert\angle CDE\rvert=72^\circ\), \(\lvert\angle DCE\rvert=72^\circ\), \(\lvert\angle CED\rvert=36^\circ\).

*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.* Schemat oceniania **Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania** – obliczenie miary kąta \(CDE\): \(\lvert\angle CDE\rvert=72^\circ\). **Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – obliczenie miar kątów \(COB\) i \(OCB\), gdzie \(O\) jest środkiem okręgu: \(\lvert\angle COB\rvert=84^\circ\), \(\lvert\angle OCB\rvert=48^\circ\). **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – obliczenie miary kąta \(BCE\): \(\lvert\angle BCE\rvert=42^\circ\). **Rozwiązanie bezbłędne** – obliczenie miar kątów trójkąta \(CDE\): \(\lvert\angle CDE\rvert=72^\circ\), \(\lvert\angle DCE\rvert=72^\circ\), \(\lvert\angle CED\rvert=36^\circ\).

Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: kąty w okręgu, dwusieczna oraz twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą.