Zadanie 1 – matura z matematyki maj 2013, poziom rozszerzony

\[x\in(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right].\]

Wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi zmieniają znak w punktach \(x=-4\) oraz \(x=\frac52\). Te dwie liczby dzielą oś na trzy przedziały i w każdym z nich nierówność rozwiązujemy osobno. **Przypadek \(x<-4\).** Wtedy \(|2x-5|=5-2x\) oraz \(|x+4|=-x-4\), więc \[(5-2x)-(-x-4)\leq2-2x,\qquad 9-x\leq2-2x,\qquad x\leq-7.\] Częścią wspólną z rozpatrywanym przedziałem jest \((-\infty,-7]\). **Przypadek \(-4\leq x<\frac52\).** Wtedy \(|2x-5|=5-2x\) oraz \(|x+4|=x+4\), więc \[(5-2x)-(x+4)\leq2-2x,\qquad 1-3x\leq2-2x,\qquad x\geq-1.\] Częścią wspólną jest \(\left[-1,\frac52\right)\). **Przypadek \(x\geq\frac52\).** Wtedy \(|2x-5|=2x-5\) oraz \(|x+4|=x+4\), więc \[(2x-5)-(x+4)\leq2-2x,\qquad x-9\leq2-2x,\qquad 3x\leq11,\qquad x\leq\frac{11}{3}.\] Częścią wspólną jest \(\left[\frac52,\frac{11}{3}\right]\). Sumujemy rozwiązania z trzech przedziałów; dwa ostatnie sklejają się w jeden: \[(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right].\] **Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-7]\cup\left[-1,\frac{11}{3}\right]\).

**1 pkt** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \(\left(-\infty,-4\right)\), \(\left\langle-4,\tfrac{5}{2}\right)\), \(\left\langle\tfrac{5}{2},+\infty\right)\) albo zapisze cztery przypadki. Jeżeli zdający popełni błędy w wyznaczaniu przedziałów, to przyznajemy \(0\) punktów; podobnie \(0\) punktów otrzymuje zdający, który błędnie zapisał cztery przypadki. **Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach albo zapisze nierówności w poszczególnych przypadkach. **3 pkt** – zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko dla dwóch przedziałów, popełni błąd w trzecim i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku oraz stwierdzi, że przypadek II. jest niemożliwy, i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca. **4 pkt** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le -7\) lub \(-1\le x\le\tfrac{11}{3}\). We wszystkich rozważanych przypadkach zdający może rozpatrywać obie nierówności nieostre (przedziały obustronnie domknięte). Jeżeli natomiast rozważy wszystkie nierówności ostre (przedziały otwarte), to przyznajemy za całe zadanie \(1\) punkt mniej, niż gdyby wyróżnił wszystkie przedziały poprawnie.

IV. Użycie i tworzenie strategii. Rozwiązanie nierówności z wartością bezwzględną. (IV.3.e.R)