Nierówności
Zadanie 1, maj 2010, poziom podstawowy
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności \(|x+7|>5\).
**A.–D.** Zbiory przedstawiono na wycinku źródłowym.
Odpowiedź
**C.** \(x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty)\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Rozpoznajemy nierówność z wartością bezwzględną w postaci \(|x-a|\gt r\). Taka nierówność mówi, że odległość liczby \(x\) od liczby \(a\) jest większa niż \(r\). Tutaj \(|x+7|=|x-(-7)|\), więc chodzi o liczby oddalone od \(-7\) o więcej niż \(5\).
**Krok \(2\).** Zapisujemy to bez wartości bezwzględnej. Warunek \(|x+7|\gt5\) jest spełniony w dwóch przypadkach:
\[x+7\gt5\qquad\text{lub}\qquad x+7\lt-5.\]
**Krok \(3\).** Rozwiązujemy każdy z nich osobno:
\[x+7\gt5\iff x\gt-2,\qquad x+7\lt-5\iff x\lt-12.\]
**Krok \(4\).** Zbiorem rozwiązań jest suma tych dwóch zbiorów:
\[x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty).\]
Na rysunku odpowiada temu para półprostych oddalonych od punktu \(-7\), a końce \(-12\) i \(-2\) zaznaczamy kółkami pustymi, bo nierówność jest ostra.
**Krok \(5\).** Sprawdzamy dwiema liczbami: dla \(x=0\) mamy \(|0+7|=7\gt5\), więc \(0\) należy do zbioru; dla \(x=-7\) mamy \(|-7+7|=0\), a warunek \(0\gt5\) nie zachodzi, więc \(-7\) do zbioru nie należy. Zgadza się z otrzymanym wynikiem.
**Uwaga.** Znak \(\gt\) daje sumę dwóch rozłącznych przedziałów, czyli liczby leżące na zewnątrz odcinka, a nie jeden przedział. Gdyby w zadaniu był znak \(\lt\), rozwiązaniem byłby jeden przedział \((-12,-2)\).
**Odpowiedź.** C, czyli \(x\in(-\infty,-12)\cup(-2,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Wykorzystanie interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej do wskazania zbioru rozwiązań nierówności typu |x − a| ≥ b.
