Nierówności
Zadanie 1, czerwiec 2014, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[|x+6|-2|x-4|\leq 2x-3.\]
Odpowiedź
\[x\in\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right).\]
Rozwiązanie krok po kroku
Punkty \(-6\) i \(4\) dzielą oś liczbową na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne.
Dla \(x<-6\) otrzymujemy
\[-x-6-2(-x+4)\leq2x-3,\]
czyli \(x\geq-11\), zatem \(x\in\langle-11,-6)\).
Dla \(-6\leq x<4\) mamy
\[x+6-2(-x+4)\leq2x-3,\]
czyli \(x\leq-1\), zatem \(x\in\langle-6,-1\rangle\).
Dla \(x\geq4\) mamy
\[x+6-2(x-4)\leq2x-3,\]
czyli \(x\geq\frac{17}{3}\). Po połączeniu przedziałów otrzymujemy
\[x\in\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right).\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawny zbiór rozwiązań \(\left\langle-11,-1\right\rangle\cup\left\langle\frac{17}{3},+\infty\right)\)
**3 pkt** – poprawne rozwiązanie dwóch z trzech przypadków i konsekwentne dokończenie zadania albo pojedynczy błąd rachunkowy nieprzekreślający metody
**2 pkt** – poprawne zapisanie nierówności po usunięciu wartości bezwzględnych w rozpatrywanych przedziałach
**1 pkt** – poprawne wyróżnienie przedziałów wyznaczonych przez punkty \(-6\) i \(4\)
**0 pkt** – rozwiązanie błędne albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
Zdający rozwiązuje nierówności z wartością bezwzględną, rozpatrując przedziały wyznaczone przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułami.
