Nierówności
Zadanie 1, czerwiec 2011, poziom rozszerzony
Rozwiąż nierówność
\[|2x-4|+|x-5|\geqslant12.\]
Odpowiedź
x≤−\(1\) lub x≥\(7\). Punkty \(2\) i \(5\) dzielą oś na przedziały, w których usuwamy wartości bezwzględne. Po rozwiązaniu trzech nierówności i przecięciu wyników z odpowiednimi przedziałami otrzymujemy (−∞,−\(1\)]∪[\(7\),∞).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W nierówności są dwie wartości bezwzględne z różnymi miejscami zerowymi, więc nie da się ich zdjąć jednym wzorem. Standardowa metoda: wyznaczamy miejsca zerowe wyrażeń pod modułami, dzielimy nimi oś liczbową na przedziały i w każdym przedziale opuszczamy moduły zgodnie ze znakiem.
**Krok \(2\).** Miejsca zerowe: \(2x-4=0\) dla \(x=2\) oraz \(x-5=0\) dla \(x=5\). Dzielą one oś na trzy przedziały: \((-\infty,2)\), \(\langle2,5)\) i \(\langle5,+\infty)\). Korzystamy z definicji \(|u|=u\) dla \(u\geqslant0\) oraz \(|u|=-u\) dla \(u\lt0\).
**Krok \(3\).** Przedział \(x\lt2\). Wtedy \(2x-4\lt0\) i \(x-5\lt0\), więc oba moduły zmieniają znak:
\[(4-2x)+(5-x)\geqslant12,\qquad 9-3x\geqslant12,\qquad -3x\geqslant3,\qquad x\leqslant-1.\]
Część wspólna z \((-\infty,2)\) to \(x\leqslant-1\).
**Krok \(4\).** Przedział \(2\leqslant x\lt5\). Wtedy \(2x-4\geqslant0\), a \(x-5\lt0\):
\[(2x-4)+(5-x)\geqslant12,\qquad x+1\geqslant12,\qquad x\geqslant11.\]
Część wspólna z \(\langle2,5)\) jest pusta — w tym przedziale nie ma rozwiązań.
**Krok \(5\).** Przedział \(x\geqslant5\). Oba wyrażenia są nieujemne:
\[(2x-4)+(x-5)\geqslant12,\qquad 3x-9\geqslant12,\qquad 3x\geqslant21,\qquad x\geqslant7.\]
Część wspólna z \(\langle5,+\infty)\) to \(x\geqslant7\).
**Krok \(6\).** Zbiorem rozwiązań całej nierówności jest suma wyników z trzech przedziałów:
\[x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle7,+\infty).\]
**Krok \(7\).** Sprawdzenie krańców: dla \(x=-1\) mamy \(|-6|+|-6|=12\), dla \(x=7\) mamy \(|10|+|2|=12\) — oba spełniają nierówność nieostrą.
**Uwaga.** W kroku \(3\) dzielimy przez liczbę ujemną \(-3\), co odwraca zwrot nierówności. W każdym przedziale trzeba jeszcze wziąć część wspólną z tym przedziałem — bez tego w drugim przypadku niepoprawnie dopisalibyśmy \(x\geqslant11\).
**Odpowiedź.** \(x\in(-\infty,-1\rangle\cup\langle7,+\infty)\).
Klucz i zasady oceniania
*Schemat punktowania CKE zachował się przy tym zadaniu bez liczb: cyfry stały w wąskiej kolumnie tabeli i nie przetrwały odczytu arkusza. Poziomy oceniania zostają, punktów nie dopisujemy — zgadnięty próg to źle policzona praca.*
**Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp** – zdający wyróżni na osi liczbowej przedziały \((-\infty,2)\), \((2,5)\), \((5,\infty)\) albo zapisze cztery przypadki: \(\begin{cases}2x-4\ge 0\\ x-5\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4\ge 0\\ x-5<0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4<0\\ x-5\ge 0\end{cases}\), \(\begin{cases}2x-4<0\\ x-5<0\end{cases}\).
**Pokonanie zasadniczych trudności zadania** – zdający zapisze nierówności w poszczególnych przedziałach, np.: \(-2x+4-x+5\ge 12\), \(2x-4-x+5\ge 12\), \(2x-4+x-5\ge 12\).
**Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)** – zdający poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca; albo zdający rozpatrzy cztery przypadki, poprawnie rozwiąże nierówności i wyznaczy części wspólne otrzymanych wyników z poszczególnymi przedziałami tylko w dwóch przypadkach, stwierdzi, że czwarty jest niemożliwy, popełni błąd w trzecim przypadku i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.
**Rozwiązanie pełne** – zdający zapisze odpowiedź: \(x\le -1\) lub \(x\ge 7\).
Uwagi: jeżeli zdający rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje \(2\) punkty. Jeżeli zdający rozpatrzy cztery przypadki, rozwiąże nierówności w poszczególnych przedziałach, stwierdzi, że czwarty przypadek jest niemożliwy i na tym zakończy lub nie wyznaczy części wspólnej otrzymywanych wyników z poszczególnymi przedziałami i kontynuuje rozwiązanie, to otrzymuje \(2\) punkty.
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie publikuje tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa: rozwiązanie nierówności z dwiema wartościami bezwzględnymi.
