Zadanie 34 – matura z matematyki sierpień 2012, poziom podstawowy

Średnia prędkość kolarza wynosiła \(28{,}5\ \mathrm{km/h}\). Z równania \(\dfrac{114}{v-9{,}5}=\dfrac{114}{v}+2\) otrzymujemy \(2v^2-19v-1083=0\), skąd \(v=28{,}5\) (drugi pierwiastek \(v=-19\) odrzucamy).

**Krok \(1\).** To klasyczne zadanie o drodze, prędkości i czasie z porównaniem dwóch wariantów jazdy. Metoda jest zawsze ta sama: wprowadzamy niewiadomą prędkość, obie sytuacje opisujemy wzorem \(t=\dfrac{s}{v}\) i zapisujemy równanie wynikające z informacji o różnicy czasów. **Krok \(2\).** Niech \(v\) oznacza rzeczywistą średnią prędkość kolarza w \(\mathrm{km/h}\). Wtedy czas przejazdu wynosi \(\dfrac{114}{v}\) godzin. Musi być \(v\gt9{,}5\), bo prędkość mniejsza o \(9{,}5\) ma być dodatnia. **Krok \(3\).** W drugim wariancie prędkość to \(v-9{,}5\), a czas \(\dfrac{114}{v-9{,}5}\). Ten czas jest o \(2\) godziny dłuższy: \[\frac{114}{v-9{,}5}=\frac{114}{v}+2.\] **Krok \(4\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v-9{,}5)\), co jest różne od zera: \[114v=114(v-9{,}5)+2v(v-9{,}5).\] **Krok \(5\).** Wykonujemy mnożenia: \[114v=114v-1083+2v^2-19v.\] Odejmujemy \(114v\) od obu stron i porządkujemy: \[2v^2-19v-1083=0.\] **Krok \(6\).** Wyróżnik: \[\Delta=(-19)^2-4\cdot2\cdot(-1083)=361+8664=9025,\qquad \sqrt{\Delta}=95,\] bo \(95^2=9025\). **Krok \(7\).** Pierwiastki: \[v=\frac{19-95}{4}=-19\qquad\text{lub}\qquad v=\frac{19+95}{4}=\frac{114}{4}=28{,}5.\] **Krok \(8\).** Prędkość nie może być ujemna, więc \(v=-19\) odrzucamy. Zostaje \(v=28{,}5\), co spełnia warunek \(v\gt9{,}5\). Sprawdzenie: \(\dfrac{114}{28{,}5}=4\) godziny, a \(\dfrac{114}{19}=6\) godzin — różnica dokładnie \(2\) godziny. **Uwaga.** Ujemny pierwiastek trzeba wyraźnie odrzucić, powołując się na sens zadania. Warto też pilnować jednostek: droga w kilometrach i prędkość w \(\mathrm{km/h}\) dają czas w godzinach, a różnica czasów jest podana właśnie w godzinach. **Odpowiedź.** Kolarz jechał ze średnią prędkością \(28{,}5\ \mathrm{km/h}\).

**1–4 pkt** – zależności drogi, czasu i prędkości oraz rozwiązanie równania. **5 pkt** – średnia prędkość \(28{,}5\) km/h.

Zadanie 34. (0–5) Kolarz pokonał trasę 114 km. Gdyby jechał ze średnią prędkością mniejszą o 9,5 km/h, to pokonałby tę trasę w czasie o 2 godziny dłuższym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz. Modelowanie matematyczne Rozwiązuje zadania dotyczących sytuacji praktycznych, prowadzące do równania kwadratowego. I sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t – czas pokonania całej trasy w godzinach, v – średnia prędkość w kilometrach na godzinę. Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v  t  114 oraz v  9, 5  t  2  114 . Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy v  t  114 Następnie zapisujemy układ równań   v  9, 5  t  2  114 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:  114   9, 5  t  2  114    t  228 114   9, 5  t 19  114 t Mnożymy obie strony przez t: 9, 5t 2 19t  228  0 Dzielimy obie strony przez 9,5: t 2  2t  24  0 t  6  t  4  0 t   6 lub t  4 1 2 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 114 Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: v   28, 5 . 4 II sposób rozwiązania: Zapisujemy zależności między czasem a prędkością w obu sytuacjach opisanych w zadaniu: v  t  114 oraz v  9, 5  t  2  114 v  t  114 Następnie zapisujemy układ równań   v  9, 5  t  2  114 Rozwiązując układ równań doprowadzamy do równania z jedną niewiadomą, np.:  114  v  9, 5   2  114    v  1083 114  2v  19  114 v Mnożymy obie strony przez v 2v2 19v 1083  0   192  8 1083  9025   95 19  95 19  95 114 v  v    28, 5 1 4 2 4 4 v jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy III sposób rozwiązania: Przyjmujemy oznaczenia, np.: t – czas pokonania całej trasy w godzinach, v – średnia prędkość w kilometrach na godzinę. v v – 9,5 t t +2 Narysowane duże prostokąty reprezentują trasę przebytą przez kolarza w obu sytuacjach opisanych w zadaniu, mają zatem równe pola. Wobec tego pola zakreskowanych prostokątów są równe. Stąd równość 9, 5  t  2 v  9, 5 i następnie 9, 5t  2  2v i v  4, 75t  2 . Ponieważ trasa przebyta przez kolarza ma długość 114 km, otrzymujemy równanie: 4, 75t  2  t  114 4, 75t 2  9, 5t 114  0 . Dzielimy obie strony przez 4,75: t 2  2t  24  0 t  6  t  4  0 t   6 lub t  4 1 2 t jest sprzeczne z warunkami zadania. 1 114 Obliczamy średnią prędkość, z jaką jechał kolarz: v   28, 5 . 4 Odp. Średnia prędkość, z jaką jechał kolarz, jest równa 28,5 km/godzinę. Schemat oceniania I, II i III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania zadania ........................................................................................................ 1 pkt Zapisanie równania w sytuacji domniemanej (t oznacza czas pokonania całej trasy w godzinach, a v średnią prędkość rowerzysty w kilometrach na godzinę)     t  2  v  9,5  114 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp ................................................................... 2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi v i t, np.: t  v  114   t  2  v  9,5  114 Pokonanie zasadniczych trudności zadania .................................................................. 3 pkt Zapisanie równania z jedną niewiadomą v lub t, np.:  114   114   9, 5  t  2  114 lub v  9, 5   2  114 lub 4, 75t  2  t  114      t   v  Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Zostały pokonane zasadnicze trudności zadania, ale w trakcie ich pokonywania zostały popełnione błędy rachunkowe lub usterki ........................................................ 2 pkt Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe) ....................................................... 4 pkt  obliczenie czasu: t  4 lub t  6 i nie obliczenie prędkości lub obliczenie prędkości z błędem rachunkowym albo  obliczenie czasu: t  4 lub t  6 i obliczenie prędkości: v  28, 5 i v  19 i niewyeliminowanie prędkości niezgodnej z warunkami zadania albo  obliczenie czasu z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie prędkości albo  rozwiązanie równania z niewiadomą v z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne ............................................................................................................ 5 pkt Obliczenie średniej prędkości, z jaką jechał kolarz: v  28, 5 km/godzinę . Uwagi: 1. Jeżeli zdający porównuje wielkości różnych typów, to otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający odgadnie średnią prędkość jazdy kolarza i nie uzasadni, że jest to jedyne rozwiązanie, to otrzymuje 1 punkt. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza 114 v  9, 5  t  2 114  v  t   114  v  9, 5 t  2 i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy 2 punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie 114 ujął wyrażenia t  2 w nawias. Zapis równania v  9, 5  wskazuje na poprawną t  2 interpretację zależności między wielkościami. Egzamin maturalny z matematyki Kryteria oceniania odpowiedzi – poziom podstawowy Przykład 2. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość kolarza, t - czas pokonania całej trasy w godzinach przez kolarza  114 v   114  t 411 114 v  9, 5    9, 5  t  2 210 t t   v  9, 5   t  i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych 411 114 trudności zadania i przyznajemy 3 punkty, mimo że w równaniu  9, 5  zdający t t  przestawił cyfry w zapisie liczby 114 i pominął liczbę 2 w mianowniku ułamka. Przykład 3. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. 2v2  19v 1083  0 zamiast równania 2v2 19v 1083  0 (np. w wyniku złego przepisania znaku lub liczby), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci ujemne rozwiązanie i pozostawi wynik, który może być realną prędkością jazdy kolarza, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów.