Nierówności
Zadanie 34, sierpień 2010, poziom podstawowy
Kolarz przejechał trasę długości \(60\ \mathrm{km}\). Gdyby jechał ze średnią prędkością większą o \(1\ \mathrm{km/h}\), to przejechałby tę trasę w czasie o \(6\) minut krótszym. Oblicz, z jaką średnią prędkością jechał ten kolarz.
Odpowiedź
\(24\ \mathrm{km/h}\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: zadanie o ruchu jednostajnym opisujemy równaniem opartym na zależności \(t=\frac{s}{v}\). Oznaczamy przez \(v\) szukaną średnią prędkość kolarza (w \(\mathrm{km/h}\)); z natury zagadnienia \(v\gt 0\).
**Krok \(2\).** Przy prędkości \(v\) czas przejazdu wynosi \(\frac{60}{v}\) godziny, a przy prędkości większej o \(1\ \mathrm{km/h}\) — \(\frac{60}{v+1}\) godziny.
**Krok \(3\).** Zamieniamy \(6\) minut na godziny, bo prędkość jest podana w \(\mathrm{km/h}\):
\[6\ \text{min}=\frac{6}{60}\ \text{h}=0{,}1\ \text{h}.\]
**Krok \(4\).** Jazda szybsza trwa krócej, więc od czasu większego odejmujemy mniejszy:
\[\frac{60}{v}-\frac{60}{v+1}=0{,}1.\]
**Krok \(5\).** Mnożymy obie strony przez \(v(v+1)\neq 0\):
\[60(v+1)-60v=0{,}1\cdot v(v+1),\qquad 60=0{,}1v^{2}+0{,}1v.\]
**Krok \(6\).** Mnożymy przez \(10\) i porządkujemy:
\[v^{2}+v-600=0.\]
**Krok \(7\).** Obliczamy wyróżnik: \(\Delta=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-600)=2401\), \(\sqrt{\Delta}=49\). Stąd
\[v_{1}=\frac{-1-49}{2}=-25,\qquad v_{2}=\frac{-1+49}{2}=24.\]
**Krok \(8\).** Wartość \(v_{1}=-25\) odrzucamy, bo prędkość jest dodatnia. Zostaje \(v=24\).
**Krok \(9\).** Sprawdzenie: \(\frac{60}{24}=2{,}5\) h oraz \(\frac{60}{25}=2{,}4\) h, a różnica \(0{,}1\) h to dokładnie \(6\) minut.
**Uwaga.** Dwie typowe pułapki: pozostawienie \(6\) minut zamiast \(0{,}1\) godziny (wtedy jednostki się nie zgadzają) oraz zapisanie równania \(60=(v+1)(t+0{,}1)\), czyli stwierdzenie, że jadąc szybciej, kolarz jedzie dłużej.
**Odpowiedź.** Kolarz jechał ze średnią prędkością \(24\ \mathrm{km/h}\).
Klucz i zasady oceniania
**1–4 pkt** – równanie \(\frac{60}{v}-\frac{60}{v+1}=0{,}1\) i rozwiązanie równania kwadratowego.
**5 pkt** – \(24\) km/h.
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Równania i nierówności – rozwiązuje zadanie tekstowe o prędkości.
