Graniastosłupy
Zadanie 33, sierpień 2010, poziom podstawowy
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|=11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).
Odpowiedź
P(ABF) = \(70\)
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(G\) będzie środkiem krawędzi \(AB\). Trójkąt \(ABF\) jest równoramienny (\(|AF|=|BF|\)), więc odcinek \(FG\) jest jego wysokością.
W podstawie \(ABC\), będącej trójkątem równobocznym o boku \(10\), odcinek \(CG\) jest wysokością:
\[|CG|=\frac{10\sqrt3}2=5\sqrt3.\]
Krawędź \(CF\) jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(FCG\) jest prostokątny przy \(C\):
\[|FG|=\sqrt{|CG|^{2}+|CF|^{2}}=\sqrt{75+121}=\sqrt{196}=14.\]
Pole trójkąta \(ABF\):
\[P_{ABF}=\frac{|AB|\cdot|FG|}2=\frac{10\cdot14}2=70.\]
**Odpowiedź.** \(P_{ABF}=70\)
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – \(BF=AF=\sqrt{221}\) i wysokość trójkąta \(ABF\) równa \(14\).
**4 pkt** – pole \(70\).
Wymagania podstawy programowej
Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania (archiwalny klucz nie publikuje osobnej tabeli wymagań): Geometria przestrzenna – oblicza pole przekroju graniastosłupa.
