Równania i nierówności
Zadanie 32, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Uczeń przeczytał książkę liczącą \(480\) stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o \(8\) stron więcej, to przeczytałby tę książkę o \(3\) dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
Odpowiedź
Uczeń czytał książkę \(15\) dni.
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(x\) oznacza liczbę stron czytanych dziennie, a \(y\) liczbę dni.
Z warunków zadania \(x>0\) i \(y>3\), a ponadto
\[xy=480,\qquad (x+8)(y-3)=480.\]
Po wymnożeniu drugiego równania i wykorzystaniu \(xy=480\):
\[480-3x+8y-24=480,\qquad 8y-3x=24,\qquad x=\frac{8y-24}{3}.\]
Podstawiamy do pierwszego równania:
\[\frac{8y-24}{3}\cdot y=480,\qquad 8y^{2}-24y=1440,\qquad y^{2}-3y-180=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=9+720=729\), \(\sqrt{\Delta}=27\), więc
\[y=\frac{3+27}{2}=15\qquad\text{lub}\qquad y=\frac{3-27}{2}=-12.\]
Ujemną liczbę dni odrzucamy.
Sprawdzenie: dla \(y=15\) mamy \(x=32\); przy \(40\) stronach dziennie książka
zajęłaby \(12\) dni, czyli o \(3\) dni mniej.
**Odpowiedź.** Uczeń czytał książkę \(15\) dni.
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
Oznaczam: \(x\) – liczba stron przeczytanych każdego dnia, \(y\) – liczba dni.
Zapisuję i rozwiązuję układ równań:
\[\begin{cases}x\cdot y=480\\ (x+8)\cdot(y-3)=480\end{cases}\]
Z pierwszego równania mamy \(x=\frac{480}{y}\), zatem
\[\left(\frac{480}{y}+8\right)\cdot(y-3)=480\]\[(480+8y)(y-3)=480y\]
Po uproszczeniu otrzymuję równanie \(y^{2}-3y-180=0\).
Rozwiązaniem równania są liczby: \(-12\) oraz \(15\). Odrzucam ujemną liczbę dni.
Odpowiedź: Uczeń przeczytał książkę w ciągu \(15\) dni.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
