Równania i nierówności
Zadanie 33, próbna listopad 2009, poziom podstawowy
Punkty \(A=(2,0)\) i \(B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\). Wierzchołek \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=x\). Oblicz współrzędne punktu \(C\).
Odpowiedź
\(C=(3,3)\) albo \(C=(4,4)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Kąt \(ACB\) jest prosty, więc punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB\)
(twierdzenie Talesa). Środkiem tego okręgu jest środek odcinka \(AB\), czyli
\(S=(7,0)\), a promieniem połowa długości \(AB\), czyli \(r=5\).
Punkt \(C\) leży na prostej \(y=x\), więc \(C=(c,c)\) i
\[(c-7)^{2}+c^{2}=25.\]
Stąd
\[2c^{2}-14c+24=0,\qquad c^{2}-7c+12=0,\]
a więc \(c=3\) lub \(c=4\).
Obie wartości dają punkt różny od \(A\) i \(B\), więc obie są dobre.
**Odpowiedź.** \(C=(3,3)\) albo \(C=(4,4)\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**I sposób rozwiązania:**
Punkt \(C\) leży na prostej o równaniu \(y=x\) i na okręgu, którego środkiem jest środek przeciwprostokątnej, a promień jest równy połowie długości tej przeciwprostokątnej.
Obliczam długość przeciwprostokątnej \(AB\): \(AB=\sqrt{(12-2)^{2}+(0-0)^{2}}=10\).
Wyznaczam współrzędne środka przeciwprostokątnej: \(S=(7,0)\).
Zapisuję równanie okręgu: \((x-7)^{2}+y^{2}=25\).
Rozwiązuję układ równań \(\begin{cases}y=x\\ (x-7)^{2}+y^{2}=25\end{cases}\)
Otrzymuję równanie z jedną niewiadomą:
\[x^{2}-7x+12=0\]
Rozwiązaniem tego równania są liczby: \(x_{1}=4\), \(x_{2}=3\).
Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(C=(4,4)\) oraz \(C=(3,3)\).
**II sposób rozwiązania:**
Oznaczmy współrzędne punktu \(C\) przez \((x,y)\). Wtedy \(AB=\sqrt{(12-2)^{2}+(0-0)^{2}}=10\), \(AC=\sqrt{(x-2)^{2}+(y-0)^{2}}\), \(BC=\sqrt{(x-12)^{2}+(y-0)^{2}}\).
Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc spełniona jest równość \(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}\), czyli \((x-2)^{2}+y^{2}+(x-12)^{2}+y^{2}=10^{2}\).
Punkt \(C\) leży też na prostej o równaniu \(y=x\), zatem aby obliczyć jego współrzędne, należy rozwiązać układ równań:
\[\begin{cases}(x-2)^{2}+y^{2}+(x-12)^{2}+y^{2}=10^{2}\\ y=x\end{cases}\]\[x^{2}-4x+4+x^{2}+x^{2}-24x+144+x^{2}=100\]\[4x^{2}-28x+48=0\]\[x^{2}-7x+12=0\]\[x_{1}=4,\quad x_{2}=3\]
Odpowiedź: Warunki zadania spełniają dwa punkty: \(C=(4,4)\) oraz \(C=(3,3)\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
