Równania kwadratowe
Zadanie 34, maj 2013, poziom podstawowy
Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości \(336\,\mathrm{km}\). Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o \(40\) minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o \(9\,\mathrm{km/h}\) większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Odpowiedź
Niech v oznacza średnią prędkość pierwszego pociągu. Drugi jedzie z prędkością v − \(9\), a różnica czasów wynosi \(\frac{2}{3}\) \(h\). Zatem \(336\)/(v − \(9\)) − \(336\)/v = \(\frac{2}{3}\). Po przekształceniu \(v^{2}\) − \(9v\) − \(4536 = 0\), skąd v = \(72\) lub v = −\(63\). Odrzucamy wartość ujemną. Prędkości pociągów wynoszą odpowiednio \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** pkt: zapisanie poprawnej zależności, w której co najmniej jedna wielkość jest uzależniona od przyjętej niewiadomej.
**Krok \(2\).** pkt: zapisanie poprawnego układu równań opisującego drogę, czas i prędkość.
**Krok \(3\).** pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą.
**Krok \(4\).** pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo podanie prędkości tylko jednego pociągu.
**Krok \(5\).** pkt: obliczenie obu prędkości: \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\).
**Odpowiedź.** Niech v oznacza średnią prędkość pierwszego pociągu. Drugi jedzie z prędkością v − \(9\), a różnica czasów wynosi \(\frac{2}{3}\) \(h\). Zatem \(336\)/(v − \(9\)) − \(336\)/v = \(\frac{2}{3}\). Po przekształceniu \(v^{2}\) − \(9v\) − \(4536 = 0\), skąd v = \(72\) lub v = −\(63\). Odrzucamy wartość ujemną. Prędkości pociągów wynoszą odpowiednio \(72\) km/\(h\) i \(63\) km/\(h\).
Klucz i zasady oceniania
1 pkt: zapisanie poprawnej zależności, w której co najmniej jedna wielkość jest uzależniona od przyjętej niewiadomej.
2 pkt: zapisanie poprawnego układu równań opisującego drogę, czas i prędkość.
3 pkt: zapisanie poprawnego równania z jedną niewiadomą.
4 pkt: rozwiązanie do końca z drobną usterką albo podanie prędkości tylko jednego pociągu.
5 pkt: obliczenie obu prędkości: 72 km/h i 63 km/h.
Wymagania podstawy programowej
Modelowanie matematyczne. Rozwiązanie zadania umieszczonego w kontekście praktycznym, prowadzącego do równania kwadratowego (III.3.b).
