Nierówności
Zadanie 33, czerwiec 2016, poziom podstawowy
Rejsowy samolot z Warszawy do Rzymu przelatuje nad Austrią każdorazowo tą samą trasą
z taką samą zakładaną prędkością przelotową. We wtorek jego średnia prędkość była \(o 10\%\)
większa niż prędkość przelotowa, a w czwartek średnia prędkość była \(o 10\%\) mniejsza od
zakładanej prędkości przelotowej. Czas przelotu nad Austrią w czwartek różnił się od
wtorkowego o \(12\) minut. Jak długo trwał przelot tego samolotu nad Austrią we wtorek?
Odpowiedź
\(54\) minuty
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** To zadanie o zależności droga–prędkość–czas. Trasa nad Austrią jest za każdym razem ta sama, więc jej długość \(s\) jest wspólna dla obu lotów. To ona posłuży za pomost między wtorkiem a czwartkiem: raz zapiszemy ją przez wtorkową prędkość i czas, raz przez czwartkowe.
**Krok \(2\).** Oznaczmy: \(v\) — zakładana prędkość przelotowa, \(s\) — długość trasy nad Austrią, \(t\) — czas przelotu we wtorek (w minutach). Wtedy prędkość we wtorek to \(1{,}1v\), a w czwartek \(0{,}9v\).
**Krok \(3\).** W czwartek samolot leciał wolniej, więc na tej samej trasie potrzebował więcej czasu. Skoro czasy różnią się o \(12\) minut, to czas czwartkowy wynosi \(t+12\).
**Krok \(4\).** Zapisujemy długość trasy na dwa sposoby, korzystając ze wzoru \(s=v\cdot t\):
\[s=1{,}1v\cdot t\qquad\text{oraz}\qquad s=0{,}9v\cdot(t+12).\]
**Krok \(5\).** Prawe strony są równe, bo opisują tę samą trasę:
\[1{,}1v\cdot t=0{,}9v\cdot(t+12).\]
**Krok \(6\).** Prędkość \(v\) jest dodatnia, więc możemy przez nią podzielić obie strony — i niewiadoma \(v\) znika z zadania:
\[1{,}1t=0{,}9(t+12).\]
**Krok \(7\).** Rozwiązujemy równanie:
\[1{,}1t=0{,}9t+10{,}8,\qquad 0{,}2t=10{,}8,\qquad t=54.\]
**Krok \(8\).** Sprawdzenie: czas czwartkowy to \(54+12=66\) minut, a stosunek czasów \(\frac{66}{54}=\frac{11}{9}\) jest odwrotnością stosunku prędkości \(\frac{0{,}9}{1{,}1}=\frac{9}{11}\) — zgadza się.
**Uwaga.** Trzeba uważnie ustalić, który lot był dłuższy: mniejsza prędkość to dłuższy czas, więc dwanaście minut dodajemy do wtorku, a nie odejmujemy. Wynik wychodzi w tych jednostkach, w których podaliśmy różnicę, czyli w minutach.
**Odpowiedź.** Przelot nad Austrią trwał we wtorek \(54\) minuty.
Klucz i zasady oceniania
**1–3 pkt** – równania drogi i równanie \(1{,}1vt=0{,}9v(t+12)\).
**4 pkt** – czas wtorkowego przelotu \(54\) minuty.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 33.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2016 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań dla tego zadania. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Równania i nierówności.
