Równania kwadratowe
Zadanie 34, czerwiec 2010, poziom podstawowy
Droga z miasta \(A\) do miasta \(B\) ma długość \(474\ \mathrm{km}\). Samochód jadący z miasta \(A\) do miasta \(B\) wyrusza godzinę później niż samochód z miasta \(B\) do miasta \(A\). Samochody te spotykają się w odległości \(300\ \mathrm{km}\) od miasta \(B\). Średnia prędkość samochodu, który wyjechał z miasta \(A\), liczona od chwili wyjazdu z \(A\) do momentu spotkania, była o \(17\ \mathrm{km/h}\) mniejsza od średniej prędkości drugiego samochodu liczonej od chwili wyjazdu z \(B\) do chwili spotkania. Oblicz średnią prędkość każdego samochodu do chwili spotkania.
Odpowiedź
Zadanie ma dwa rozwiązania: \(v_A=51\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=68\;\mathrm{km/h}\)
albo \(v_A=58\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=75\;\mathrm{km/h}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Do chwili spotkania samochód z miasta \(B\) przejechał \(300\;\mathrm{km}\),
a samochód z miasta \(A\) — pozostałe \(474-300=174\;\mathrm{km}\).
Oznaczmy przez \(v_B\) średnią prędkość samochodu z \(B\), a przez \(t_B\) jego czas jazdy
do spotkania. Wtedy \(v_A=v_B-17\) oraz \(t_A=t_B-1\), przy czym \(v_B>17\) i \(t_B>1\).
Z definicji prędkości średniej otrzymujemy układ
\[v_B\,t_B=300,\qquad (v_B-17)(t_B-1)=174.\]
Po wymnożeniu drugiego równania i wykorzystaniu \(v_B t_B=300\):
\[300-v_B-17t_B+17=174,\qquad v_B=143-17t_B.\]
Podstawiamy do pierwszego równania:
\[(143-17t_B)\,t_B=300,\qquad 17t_B^{\,2}-143t_B+300=0.\]
Wyróżnik
\[\Delta=(-143)^2-4\cdot17\cdot300=20449-20400=49,\qquad \sqrt{\Delta}=7,\]
więc
\[t_B=\frac{143-7}{34}=4\qquad\text{lub}\qquad t_B=\frac{143+7}{34}=\frac{75}{17}.\]
Dla \(t_B=4\): \(v_B=\frac{300}{4}=75\) i \(v_A=58\); sprawdzenie \(58\cdot3=174\).
Dla \(t_B=\frac{75}{17}\): \(v_B=\frac{300\cdot17}{75}=68\) i \(v_A=51\);
sprawdzenie \(51\cdot\frac{58}{17}=174\).
Oba przypadki spełniają warunki zadania, więc żadnego nie odrzucamy.
**Odpowiedź.** \(v_A=51\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=68\;\mathrm{km/h}\) albo
\(v_A=58\;\mathrm{km/h}\) i \(v_B=75\;\mathrm{km/h}\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – obliczenie drogi przebytej przez samochód z miasta \(A\) do chwili
spotkania: \(174\;\mathrm{km}\), oraz zapisanie równania
\((v_B-17)(t_B-1)=174\) albo \((v_A+17)(t_A+1)=300\)
**2 pkt** – zapisanie układu równań z dwiema niewiadomymi
**3 pkt** – sprowadzenie do równania z jedną niewiadomą
**4 pkt** – rozwiązanie zadania do końca z usterkami, które nie przekreślają
poprawności (np. błąd rachunkowy) albo przyjęcie tylko jednego z dwóch rozwiązań
**5 pkt** – obliczenie prędkości obu samochodów w obu przypadkach; punkt przyznaje się
tylko przy poprawnym przyporządkowaniu prędkości do miast
Zapis odtworzony ze schematu oceniania CKE zawartego w materiale źródłowym; skan
tabeli był nieczytelny w warstwie tekstowej.
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:**
Modelowanie matematyczne.
**Wymaganie szczegółowe:**
Zdający buduje model matematyczny sytuacji opisanej w zadaniu (ruch jednostajny), zapisuje układ równań z dwiema niewiadomymi i rozwiązuje otrzymane równanie kwadratowe.
Uwaga redakcyjna: w tym miejscu w zastanym materiale znajdował się zrzut treści zadania, dwóch sposobów rozwiązania CKE i schematu oceniania — usunięto go, bo ujawniał wynik przed próbą.
