Logarytmy
Zadanie 22, maj 2003, poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie
\[\log_3(\log_9x)=\log_9(\log_3x).\]
Odpowiedź
\[x=81.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Zaczynamy od dziedziny. Muszą być spełnione warunki
\[x>0,\qquad \log_9 x>0,\qquad \log_3 x>0,\]
a dwa ostatnie oznaczają \(x>1\). Zatem dziedziną równania jest \((1,+\infty)\).
Oznaczmy \(t=\log_3 x\); wtedy ze wzoru na zamianę podstawy \(\log_9 x=\frac{\log_3 x}{\log_3 9}=\frac t2\), a w dziedzinie \(t>0\). Prawą stronę też sprowadzamy do podstawy \(3\):
\[\log_9(\log_3 x)=\frac{\log_3 t}{\log_3 9}=\frac12\log_3 t.\]
Równanie przyjmuje postać
\[\log_3\frac t2=\frac12\log_3 t.\]
Mnożymy obie strony przez \(2\) i korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi:
\[\log_3\frac{t^2}{4}=\log_3 t,\qquad \frac{t^2}{4}=t,\qquad t^2-4t=0,\]
skąd \(t=0\) lub \(t=4\). Wartość \(t=0\) odpada, bo w dziedzinie \(t>0\) (dla \(t=0\) byłoby \(x=1\), a wtedy \(\log_3(\log_9 1)=\log_3 0\) nie istnieje). Zostaje
\[\log_3 x=4,\qquad x=3^4=81.\]
Sprawdzenie: \(\log_9 81=2\), więc lewa strona wynosi \(\log_3 2\); \(\log_3 81=4\), więc prawa strona wynosi \(\log_9 4=\frac{\log_3 4}{2}=\frac{2\log_3 2}{2}=\log_3 2\). Obie strony są równe.
**Odpowiedź.** \(x=81\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – zapisanie warunku jaki musi spełniać niewiadoma \(x\). Odp. \(\begin{cases}x>0\\ \log_{3}x>0\\ \log_{9}x>0\end{cases}\)
**2. (1 pkt)** – wyznaczenie dziedziny równania. Odp. \(x\in(1,\,+\infty)\)
**3. (2 pkt)** – zapisanie równania w postaci \(\log_{9}(\log_{9}x)^{2}=\log_{9}(\log_{3}x)\). Za zastosowanie twierdzenia o zamianie podstaw – \(1\) punkt.
**4. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \((\log_{9}x)^{2}-\log_{3}x=0\)
**5. (1 pkt)** – zapisanie równania w postaci \((\log_{9}x)^{2}-2\log_{9}x=0\)
**6. (3 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \((\log_{9}x)^{2}-2\log_{9}x=0\). Odp. \(x=1\) lub \(x=81\). Zapisanie w postaci \((\log_{9}x-2)\log_{9}x=0\) – \(1\) punkt. Zapisanie alternatywy: \(\log_{9}x=0\) lub \(\log_{9}x=2\) – \(1\) punkt. Wyznaczenie rozwiązań równania – \(1\) punkt.
**7. (1 pkt)** – wyznaczenie rozwiązań równania \(\log_{3}(\log_{9}x)=\log_{9}(\log_{3}x)\). Odp. \(x=81\)
Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną od przedstawionej w schemacie punktowania metodą zgodną z poleceniem przyznajemy maksymalną liczbę punktów.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
