Trygonometria
Zadanie 21, maj 2003, poziom rozszerzony
W trójkącie \(ABC\) dane są: \(|AC|=8\), \(|BC|=3\), \(\angle ACB=60^\circ\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej po obrocie trójkąta \(ABC\) dookoła boku \(BC\).
Odpowiedź
\[V=48\pi,\qquad P_c=60\pi\sqrt3.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(D\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(A\) na prostą \(BC\). Z trójkąta prostokątnego \(ACD\)
\[\lvert AD\rvert=\lvert AC\rvert\sin 60^\circ=8\cdot\frac{\sqrt3}{2}=4\sqrt3,\qquad \lvert CD\rvert=\lvert AC\rvert\cos 60^\circ=4.\]
Ponieważ \(\lvert CD\rvert=4>3=\lvert CB\rvert\), punkt \(B\) leży między \(C\) a \(D\). Przy obrocie dookoła prostej \(BC\) powstaje więc stożek o wierzchołku \(C\), z którego wycięto stożek o wierzchołku \(B\) i tej samej podstawie — kole o promieniu \(r=\lvert AD\rvert=4\sqrt3\).
Wysokości obu stożków to \(\lvert CD\rvert=4\) oraz \(\lvert BD\rvert=4-3=1\), zatem
\[V=\tfrac13\pi r^{2}\cdot4-\tfrac13\pi r^{2}\cdot1=\tfrac13\pi\cdot48\cdot3=48\pi.\]
Powierzchnię bryły tworzą dwie powierzchnie boczne (wspólna podstawa jest wnętrzem bryły i nie należy do jej brzegu). Tworzące obu stożków to
\[\lvert CA\rvert=8,\qquad \lvert BA\rvert=\sqrt{\lvert BD\rvert^{2}+\lvert AD\rvert^{2}}=\sqrt{1+48}=7.\]
Stąd
\[P_c=\pi r\cdot8+\pi r\cdot7=\pi\cdot4\sqrt3\cdot15=60\pi\sqrt3.\]
**Odpowiedź.** \(V=48\pi\), \(P_c=60\pi\sqrt3\).
Klucz i zasady oceniania
**1. (1 pkt)** – wykonanie rysunku i wprowadzenie oznaczeń.
**2. (1 pkt)** – zapisanie jaką bryłą jest bryła po obrocie danego trójkąta. Odp. Powstała bryła jest stożkiem z wyciętym stożkiem o tej samej podstawie. Punkt przyznajemy także jeśli zaznaczony jest stożek na rysunku.
**3. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(AB\). Z twierdzenia kosinusów \(\lvert AB\rvert^{2}=\lvert AC\rvert^{2}+\lvert BC\rvert^{2}-2\lvert AC\rvert\cdot\lvert BC\rvert\cos\angle ACB\). Odp. \(\lvert AB\rvert=7\)
**4. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(AD\): \(\lvert AD\rvert=\lvert AC\rvert\cdot\sin\angle ACB\). Odp. \(\lvert AD\rvert=4\sqrt{3}\)
**5. (1 pkt)** – wyznaczenie długości odcinka \(CD\): \(\lvert CD\rvert=\lvert AC\rvert\cdot\cos\angle ACB\). Odp. \(\lvert CD\rvert=4\)
**6. (1 pkt)** – obliczenie objętości powstałej bryły: \(V=\frac{1}{3}\pi\lvert AD\rvert^{2}\cdot\lvert CD\rvert-\frac{1}{3}\pi\lvert AD\rvert^{2}\cdot\lvert BD\rvert\). Odp. \(48\pi\)
**7. (2 pkt)** – obliczenie pola powierzchni całkowitej: \(P=\pi\lvert AD\rvert\cdot\lvert AC\rvert+\pi\lvert AD\rvert\cdot\lvert AB\rvert\). Odp. \(60\sqrt{3}\pi\). Jeśli wyznaczone zostało pole powierzchni bocznej tylko jednego stożka przyznajemy \(1\) punkt.
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
