Liczby rzeczywiste
Zadanie 3, czerwiec 2018, poziom podstawowy
( )( )( )
Wskaż liczbę spełniającą nierówność \(4 - x x + 3 x + 4 > 0\) .
A. \(5\) B. \(16\) C. −\(4\) D. − \(2\)
Odpowiedź
**D.** \(-2\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Pytanie brzmi: która z czterech podanych liczb spełnia nierówność \((4-x)(x+3)(x+4)\gt0\). Nie trzeba więc rozwiązywać całej nierówności — wystarczy podstawiać kolejne liczby i sprawdzać znak iloczynu. Co więcej, nie musimy nawet mnożyć: decyduje tylko to, ile czynników jest ujemnych.
**Krok \(2\).** Sprawdzamy \(x=5\): \(4-5=-1\lt0\), \(5+3=8\gt0\), \(5+4=9\gt0\). Jeden czynnik ujemny, więc iloczyn jest ujemny (dokładnie \(-72\)). Ta liczba nie spełnia nierówności.
**Krok \(3\).** Sprawdzamy \(x=16\): \(4-16=-12\lt0\), \(16+3=19\gt0\), \(16+4=20\gt0\). Znowu jeden czynnik ujemny — iloczyn ujemny. Odpada.
**Krok \(4\).** Sprawdzamy \(x=-4\): trzeci czynnik to \(-4+4=0\), więc cały iloczyn jest równy \(0\). A zdanie \(0\gt0\) jest fałszywe, więc ta liczba też nie spełnia nierówności.
**Krok \(5\).** Sprawdzamy \(x=-2\): \(4-(-2)=6\gt0\), \(-2+3=1\gt0\), \(-2+4=2\gt0\). Wszystkie trzy czynniki są dodatnie, zatem
\[6\cdot1\cdot2=12\gt0.\]
Ta liczba spełnia nierówność.
**Uwaga.** Nierówność jest **ostra**, dlatego liczba \(-4\), która zeruje iloczyn, nie jest jej rozwiązaniem. Gdyby w zadaniu stało \(\geq0\), poprawne byłyby dwie odpowiedzi — to typowa pułapka.
**Odpowiedź.** D: \(-2\)
Klucz i zasady oceniania
Nie mamy jeszcze opracowanego schematu punktowania do tego zadania.
Wymagania podstawy programowej
Zadanie 3.
Klucz CKE dla sesji dodatkowej 2018 nie publikuje wypełnionej tabeli wymagań. Klasyfikacja rzeczowa na podstawie treści zadania: Liczby rzeczywiste.
