Zadanie 12 – matura z matematyki czerwiec 2026, poziom rozszerzony

Obwód czworokąta jest równy \(20\).

Trójkąt \(ABC\) jest prostokątny, więc \(\lvert AC\rvert=\sqrt{65}\), a jego pole jest równe \(14\). Pole trójkąta \(ACD\) wynosi zatem \(18-14=4\). Ponieważ \(ABCD\) jest wpisany w okrąg, \(\angle ADC=90^{\circ}\). Oznaczając \(\lvert CD\rvert=c\) i \(\lvert AD\rvert=d\), mamy \(cd=8\) oraz \(c^{2}+d^{2}=65\), więc \(c+d=9\). Obwód wynosi \(4+7+9=20\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – obliczenie pola trójkąta \(ACD\) i zapisanie, że trójkąt \(ACD\) jest prostokątny (lub dokonanie zapisów, z których wynika, że zdający traktuje ten trójkąt jako prostokątny), np. \(P_{ACD}=4\) oraz \(\frac{1}{2}cd=4\). **2 pkt** – zapisanie układu równań niezależnych z dwiema niewiadomymi \(c\) i \(d\), np. \(\frac{1}{2}cd=4\) oraz \(c^{2}+d^{2}=\left(\sqrt{65}\right)^{2}\) (dla sposobu I) ALBO zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością odcinka \(AE\) lub \(EC\)), np. \(\frac{\frac{8}{\sqrt{65}}}{x}=\frac{\sqrt{65}-x}{\frac{8}{\sqrt{65}}}\) (dla sposobu II). **3 pkt** – zapisanie równania z jedną niewiadomą (długością jednej z przyprostokątnych trójkąta \(ACD\)), np. \(c^{2}+\left(\frac{8}{c}\right)^{2}=65\) ALBO zapisanie równania \((c+d)^{2}=81\), ALBO obliczenie długości odcinków \(AE\) oraz \(EC\) (dla jednego przypadku): \(\frac{1}{\sqrt{65}}\) i \(\frac{64}{\sqrt{65}}\). **4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik: \(20\). Uwaga. Jeżeli zdający uzyska tylko jeden czworokąt \(ABCD\) spełniający warunki zadania i nie skomentuje, że drugi czworokąt spełniający warunki zadania różni się tylko permutacją długości boków \(AD\) i \(CD\), to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.

**Wymagania ogólne:** IV. Użycie i tworzenie strategii. **Wymagania szczegółowe:** 7.1R) Zdający stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu.