Wyrażenia algebraiczne
Zadanie 8, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie
\[x^{2}+2mx+2m-1=0\]
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\), \(x_2\) spełniające warunek
\[m(x_1^{2}+x_2^{2})=3m\cdot x_1\cdot x_2+2.\]
Odpowiedź
\[m=2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste dokładnie wtedy, gdy jego wyróżnik jest dodatni:
\[\Delta=(2m)^{2}-4(2m-1)=4m^{2}-8m+4=4(m-1)^{2}>0,\]
co zachodzi dla każdego \(m\neq1\).
Ze wzorów Viète'a
\[x_1+x_2=-2m,\qquad x_1x_2=2m-1,\]
a stąd
\[x_1^{2}+x_2^{2}=(x_1+x_2)^{2}-2x_1x_2=4m^{2}-2(2m-1)=4m^{2}-4m+2.\]
Warunek zadania przyjmuje postać
\[m\left(4m^{2}-4m+2\right)=3m(2m-1)+2,\qquad 4m^{3}-4m^{2}+2m=6m^{2}-3m+2,\]
\[4m^{3}-10m^{2}+5m-2=0.\]
Liczba \(2\) jest pierwiastkiem tego wielomianu, więc
\[4m^{3}-10m^{2}+5m-2=(m-2)\left(4m^{2}-2m+1\right).\]
Drugi czynnik ma wyróżnik \(4-16=-12<0\) i dodatni współczynnik przy \(m^{2}\), więc jest dodatni dla każdego \(m\). Zatem jedynym rozwiązaniem jest \(m=2\), a warunek \(m\neq1\) jest spełniony.
**Odpowiedź.** \(m=2\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – spełnienie następujących trzech warunków: 1) poprawne rozwiązanie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\): \(m=2\), 2) poprawne rozwiązanie warunku \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) LUB wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), dla których \(x_1\neq x_2\): \(m\neq1\), LUB sprawdzenie, że dla \(m=2\) są spełnione warunki zadania, 3) zapisanie poprawnej odpowiedzi: \(m=2\).
**3 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\)
ALBO
– rozwiązanie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\): \(m=2\),
ALBO
– zapisanie, że \(x_1\neq x_2\) dla \(m\neq1\) oraz zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\).
**2 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\) oraz przekształcenie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \(m\cdot\left[(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2\right]=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\)
ALBO
– zapisanie równania z jedną niewiadomą \(m\), np. \(m\cdot\left[(-2m)^2-2\cdot(2m-1)\right]=3m\cdot(2m-1)+2\)
ALBO
– wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(x^2+2mx+(2m-1)\): \((-1)\) oraz \(1-2m\), oraz zapisanie, że \(x_1\neq x_2\) dla \(m\neq1\).
**1 pkt** – poprawnie rozwiązany warunek \(\Delta>0\): \(m\in\mathbb{R}\setminus\{1\}\)
ALBO
– przekształcenie warunku \(m(x_1^2+x_2^2)=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \(m\cdot\left[(x_1+x_2)^2-2x_1\cdot x_2\right]=3m\cdot x_1\cdot x_2+2\)
ALBO
– wyznaczenie pierwiastków trójmianu \(x^2+2mx+(2m-1)\): \((-1)\) oraz \(1-2m\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga:
Jeżeli zdający przyjmie, że \(x_1^2+x_2^2\) jest równe \((x_1+x_2)^2\) oraz doprowadzi rozwiązanie konsekwentnie do końca, to otrzymuje 2 punkty za całe rozwiązanie.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne.
**Wymagania szczegółowe:**
3.1R) Zdający stosuje wzory Viète’a;
3.2R) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.
