Zadanie 10 – matura z matematyki czerwiec 2023, poziom rozszerzony

\[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

Zapisujemy cosinus jako sinus: \[\cos x=\sin\left(\frac\pi2-x\right).\] Równanie przyjmuje postać \[\sin(5x)+\sin\left(\frac\pi2-x\right)=0.\] Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Stąd \[\sin\left(2x+\frac\pi4\right)=0\quad\text{lub}\quad\cos\left(3x-\frac\pi4\right)=0.\] Pierwsze równanie daje \[2x+\frac\pi4=k\pi,\qquad x=-\frac\pi8+\frac{k\pi}{2}.\] Drugie równanie daje \[3x-\frac\pi4=\frac\pi2+k\pi,\qquad x=\frac\pi4+\frac{k\pi}{3}.\] Po ograniczeniu do \(\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]\) otrzymujemy \[x\in\left\{-\frac{5\pi}{12},-\frac\pi8,-\frac\pi{12},\frac\pi4,\frac{3\pi}{8}\right\}.\]

**4 pkt** – poprawna metoda i wszystkie rozwiązania w podanym przedziale: \(-\frac\pi8\), \(\frac{3\pi}{8}\), \(-\frac{5\pi}{12}\), \(-\frac\pi{12}\), \(\frac\pi4\) **3 pkt** – rozwiązanie otrzymanych rodzin równań w \(\mathbb R\); albo rozwiązanie jednej gałęzi w podanym przedziale; albo rozwiązanie wszystkich gałęzi w \(\mathbb R\) **2 pkt** – równoważne przekształcenie do równości sinusów lub cosinusów; albo do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych **1 pkt** – zastosowanie wzoru redukcyjnego i zapisanie równania z jedną funkcją trygonometryczną, na przykład \(\sin(5x)+\sin(\frac\pi2-x)=0\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania

**Element podstawy programowej:** stosowanie wzorów redukcyjnych i wzoru na sumę sinusów oraz rozwiązywanie równań trygonometrycznych w zadanym przedziale. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.