Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 11, czerwiec 2023, poziom rozszerzony
W pudełku umieszczono \(n\) kul (\(n\geq 3\)), wśród których dokładnie \(2\) kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe \(\frac{37}{50}\).
**Oblicz \(n\).**
Odpowiedź
\[n=10.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy przez \(B\) zdarzenie polegające na wylosowaniu za pierwszym razem kuli białej, a przez \(C\) - kuli czarnej. Mamy
\[P(B)=\frac{n-2}{n},\qquad P(C)=\frac2n.\]
Po wylosowaniu kuli białej w pudełku znajduje się \(n-3\) kul białych i \(3\) czarne, a po wylosowaniu kuli czarnej - \(n-1\) kul białych i \(1\) czarna. Zatem prawdopodobieństwo \(P(A)\) wylosowania kuli białej po zmianie zawartości wynosi
\[P(A)=\frac{n-3}{n}\cdot\frac{n-2}{n}+\frac{n-1}{n}\cdot\frac2n=\frac{n^2-3n+4}{n^2}.\]
Z warunku zadania:
\[\frac{n^2-3n+4}{n^2}=\frac{37}{50},\]
\[13n^2-150n+200=0.\]
Ponieważ \(\Delta=12100\) i \(\sqrt\Delta=110\), otrzymujemy
\[n=\frac{150-110}{26}=\frac{20}{13}\quad\text{lub}\quad n=\frac{150+110}{26}=10.\]
Liczba kul musi być liczbą naturalną większą niż \(2\), więc
\[n=10.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(n=10\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(P(A)=\frac{n^2-3n+4}{n^2}\)
**2 pkt** – wyznaczenie prawdopodobieństw warunkowych \(\frac{n-3}{n}\) oraz \(\frac{n-1}{n}\)
**1 pkt** – wyznaczenie prawdopodobieństw pierwszego losowania \(P(B)=\frac{n-2}{n}\) oraz \(P(C)=\frac2n\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Element podstawy programowej:** obliczanie prawdopodobieństwa z wykorzystaniem drzewa zdarzeń i twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym oraz rozwiązywanie równania kwadratowego. Klucz CKE dla tego arkusza w formule 2015 nie podaje osobnego kodu wymagania.
